Encontre um vetor unitário ortogonal aos vetores u=(3,1,0)E e v=(4,1,3)E, onde E é base ortonormal.
Resposta: w=(3raiz91,-9raiz91,-1raiz91) ou w=(-3raiz91, 9raiz91, 1raiz91)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores u = (3, 1, 0)E e v = (4, 1, 3)E. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o produto vetorial e a normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, para encontrar um vetor que seja ortogonal aos dois vetores dados, a gente vai calcular o produto vetorial entre u e v. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais.
A fórmula do produto vetorial é:
u times v = ( uy vz - uz vy, uz vx - ux vz, ux vy - uy vx )

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula com os valores dos vetores u e v:
u times v = ( 1 cdot 3 - 0 cdot 1, 0 cdot 4 - 3 cdot 3, 3 cdot 1 - 1 cdot 4 )
Calculando cada componente:
u times v = ( 3 - 0, 0 - 9, 3 - 4 ) = ( 3, -9, -1 )

Passo 4

Agora que temos o vetor u times v = (3, -9, -1) que é ortogonal aos vetores u e v, precisamos transformá-lo em um vetor unitário. Isso significa que o vetor precisa ter comprimento igual a 1.
Para isso, vamos calcular o módulo (ou comprimento) do vetor e depois dividir cada componente pelo módulo.
A fórmula do módulo é:
|w| = raizwx^2 + wy^2 + wz^2

Passo 5

Calculando o módulo de w = (3, -9, -1):
|w| = raiz3^2 + (-9)^2 + (-1)^2 = raiz9 + 81 + 1 = raiz91

Passo 6

Agora, vamos dividir cada componente de w pelo seu módulo raiz91 para obter o vetor unitário:
w = ( 3raiz91, -9raiz91, -1raiz91 )
Lembrando que multiplicar todos os componentes por -1 também nos dá um vetor unitário ortogonal:
w = ( -3raiz91, 9raiz91, 1raiz91 )

Resposta

w=(3raiz91,-9raiz91,-1raiz91) ou w=(-3raiz91, 9raiz91, 1raiz91)

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