Em cada ponto da curva , tem-se . Sabendo que a reta tangente a essa curva no ponto é paralela ao eixo . Determinar a equação desta curva.

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma curva onde a segunda derivada em relação a é . Além disso, sabemos que a reta tangente a essa curva no ponto é paralela ao eixo . Nosso objetivo é determinar a equação dessa curva. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração de derivadas, e condições de tangência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a segunda derivada . A segunda derivada nos dá a concavidade da curva, mas para encontrar a equação , precisamos integrar essa expressão para encontrar a primeira derivada .

Passo 3

Integrando a segunda derivada para encontrar a primeira derivada:
Sabemos que , então podemos reescrever a integral:
A integral de é e a integral de 1 é , então:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos integrar a primeira derivada para encontrar a função :
Integrando termo a termo:
Sabemos que , , e , então:
onde é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, usamos as condições fornecidas para encontrar as constantes e . Sabemos que no ponto , a reta tangente é paralela ao eixo . Isso significa que a inclinação da tangente nesse ponto é zero, ou seja, em é igual a zero.
Calculando em :
Como , temos .

Passo 6

Agora, usamos a condição para encontrar :
Portanto, .

Resposta

A equação da curva é:

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Encontrar a função tal que:
(d) e
Encontrar a primitiva para a função dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(f) e
Calcule as integrais definidas:
(d)
Calcule as integrais definidas:
(i)