Em cada ponto da curva , tem-se . Sabendo que a reta tangente a essa curva no ponto é paralela ao eixo . Determinar a equação desta curva.
Passo 1
Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma curva onde a segunda derivada em relação a é . Além disso, sabemos que a reta tangente a essa curva no ponto é paralela ao eixo . Nosso objetivo é determinar a equação dessa curva. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração de derivadas, e condições de tangência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a segunda derivada . A segunda derivada nos dá a concavidade da curva, mas para encontrar a equação , precisamos integrar essa expressão para encontrar a primeira derivada .
Passo 3
Integrando a segunda derivada para encontrar a primeira derivada:
Sabemos que , então podemos reescrever a integral:
A integral de é e a integral de 1 é , então:
onde é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos integrar a primeira derivada para encontrar a função :
Integrando termo a termo:
Sabemos que , , e , então:
onde é outra constante de integração.
Passo 5
Agora, usamos as condições fornecidas para encontrar as constantes e . Sabemos que no ponto , a reta tangente é paralela ao eixo . Isso significa que a inclinação da tangente nesse ponto é zero, ou seja, em é igual a zero.