Encontrar a função tal que:
(d) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função que satisfaz a integral e que também cumpre a condição . Vamos usar cálculo integral e derivadas para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
Para simplificar, vamos diferenciar ambos os lados em relação a . A ideia é cancelar a integral e focar na função .

Passo 3

Diferenciando o lado esquerdo:
E diferenciando o lado direito:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Aqui usamos a identidade trigonométrica .

Passo 5

Para encontrar , precisamos integrar :
Onde é a constante de integra��ão.

Passo 6

Sabemos que:
Portanto:

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar :
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 8

Resolvendo para :
Podemos simplificar se quisermos, mas já está em uma forma aceitável.

Resposta

A função que satisfaz a condição dada é:

Exercícios relacionados

Encontrar a primitiva para a função dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(f) e
Encontrar a primitiva para a função dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(a) e
Em cada ponto da curva , tem-se . Sabendo que a reta tangente a essa curva no ponto é paralela ao eixo . Determinar a equação desta curva.
Calcule as integrais definidas:
(d)