Encontrar a função f tal que:
(d) integral sen(2 x) cdot f^prime(x) d x=sen(2 x)+c e f(pi8)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função que satisfaz a integral e que também cumpre a condição . Vamos usar cálculo integral e derivadas para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
integral sin(2x) cdot f'(x) , dx = sin(2x) + c
Para simplificar, vamos diferenciar ambos os lados em relação a . A ideia é cancelar a integral e focar na função .

Passo 3

Diferenciando o lado esquerdo:
ddx ( integral sin(2x) cdot f'(x) , dx ) = sin(2x) cdot f'(x)
E diferenciando o lado direito:
ddx ( sin(2x) + c ) = 2cos(2x)
Então, temos:
sin(2x) cdot f'(x) = 2cos(2x)

Passo 4

Agora, vamos isolar f'(x) = 2cos(2x)sin(2x) = 2cot(2x) :
Aqui usamos a identidade trigonométrica .

Passo 5

Para encontrar f(x) = integral 2cot(2x) , dx + k , precisamos integrar :
Onde é a constante de integra��ão.

Passo 6

Sabemos que:
integral cot(2x) , dx = 12 ln|sin(2x)| + C
Portanto:
f(x) = 2 cdot 12 ln|sin(2x)| + k = ln|sin(2x)| + k

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial 2 = ln|sin(2 cdot pi8)| + k para encontrar 2 = ln|sin(pi4)| + k :
2 = ln(raiz22) + k
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 8

Resolvendo para k = 2 - ln(raiz22) :
Podemos simplificar se quisermos, mas já está em uma forma aceitável.

Resposta

A função f(x) = ln|sin(2x)| + 2 - ln(raiz22) que satisfaz a condição dada é:

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