Calcule as integrais definidas:
(d) integral0^1 e^x cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre Integrais Definidas e Técnicas de Integração, como por exemplo, a Técnica de Integração por Partes. Para resolver, vamos precisar aplicar essa técnica duas vezes e depois calcular o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que vamos usar na integração por partes. Vamos escolher:
  • (porque a derivada de é simples)
  • (a integral de também é fácil)

Passo 3

Agora, derivamos e integramos :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes: integral e^x cos x , dx = e^x sin x - integral e^x sin x , dx , temos:
Agora, precisamos resolver a nova integral .

Passo 5

Vamos aplicar integração por partes novamente para a integral . Desta vez, escolhemos:
Então,

Passo 6

Aplicando a fórmula de novo:
integral e^x sin x , dx = -e^x cos x - integral (-cos x) e^x , dx = -e^x cos x + integral e^x cos x , dx
Observamos que agora a integral apareceu novamente.

Passo 7

Vamos chamar I = e^x sin x - (-e^x cos x + I) . Substituindo na equação anterior:
I = e^x sin x + e^x cos x - I
Simplificando:
2I = e^x (sin x + cos x)
Somando I = e^x (sin x + cos x)2 dos dois lados:
Dividindo por 2:

Passo 8

Agora que temos a antiderivada, vamos calcular a integral definida de 0 a 1:
integral0^1 e^x cos x , dx = [ e^x (sin x + cos x)2 ]0^1
Substituindo os limites:
= e^1 (sin 1 + cos 1)2 - e^0 (sin 0 + cos 0)2
Simplificando:
= e (sin 1 + cos 1)2 - 1 (0 + 1)2 = e (sin 1 + cos 1) - 12

Resposta

integral0^1 e^x cos x , dx = e (sin 1 + cos 1) - 12

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