Calcule as integrais definidas:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre Integrais Definidas e Técnicas de Integração, como por exemplo, a Técnica de Integração por Partes. Para resolver, vamos precisar aplicar essa técnica duas vezes e depois calcular o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que vamos usar na integração por partes. Vamos escolher:
  • (porque a derivada de é simples)
  • (a integral de também é fácil)

Passo 3

Agora, derivamos e integramos :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes: , temos:
Agora, precisamos resolver a nova integral .

Passo 5

Vamos aplicar integração por partes novamente para a integral . Desta vez, escolhemos:
Então,

Passo 6

Aplicando a fórmula de novo:
Observamos que agora a integral apareceu novamente.

Passo 7

Vamos chamar . Substituindo na equação anterior:
Simplificando:
Somando dos dois lados:
Dividindo por 2:

Passo 8

Agora que temos a antiderivada, vamos calcular a integral definida de 0 a 1:
Substituindo os limites:
Simplificando:

Resposta

Exercícios relacionados

Em cada ponto da curva , tem-se . Sabendo que a reta tangente a essa curva no ponto é paralela ao eixo . Determinar a equação desta curva.
Encontrar a função tal que:
(d) e
Calcule as integrais definidas:
(i)
Calcule as integrais definidas:
(n)