Calcule as integrais definidas:
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida . Essa questão envolve o cálculo de integrais e o uso de propriedades de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões com senos e cossenos e como lidar com valores absolutos dentro da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:
Isso porque a raiz quadrada de um quadrado é o valor absoluto.
Passo 3
Então, a integral original fica:
Para resolver isso, precisamos analisar onde a função é positiva ou negativa no intervalo de 0 a
.
Passo 4
Sabemos que:
- é positiva de
a . -
é positiva de a e negativa de a .
Portanto, é:
- Positiva de
a . - Negativa de
a .
Passo 5
Assim, podemos dividir a integral em duas partes, removendo o valor absoluto ao considerar o sinal de cada intervalo:
Observe que subtraímos a segunda integral porque é negativa nesse intervalo.
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente.
Para , podemos usar a substituição , então
.
Assim:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Primeira parte:
Segunda parte:
Resposta
Somando as duas partes:
Portanto, o valor da integral é 1.