Calcule as integrais definidas:
(i) integral0^pi raizsen^2 x cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Essa questão envolve o cálculo de integrais e o uso de propriedades de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões com senos e cossenos e como lidar com valores absolutos dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:
Isso porque a raiz quadrada de um quadrado é o valor absoluto.

Passo 3

Então, a integral original fica:
Para resolver isso, precisamos analisar onde a função é positiva ou negativa no intervalo de 0 a integral0^pi |sen x cos x| , dx .

Passo 4

Sabemos que:
  • é positiva de a .
  • é positiva de a e negativa de a .
Portanto, é:
  • Positiva de a .
  • Negativa de a .

Passo 5

Assim, podemos dividir a integral em duas partes, removendo o valor absoluto ao considerar o sinal de cada intervalo:
Observe que subtraímos a segunda integral porque é negativa nesse intervalo.

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente.
Para , podemos usar a substituição , então integral sen x cos x , dx = integral u , du = u^22 + C = sen^2 x2 + C .
Assim:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Primeira parte:
Segunda parte:

Resposta

Somando as duas partes:
12 + 12 = 1
Portanto, o valor da integral é 1.

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