Encontrar a primitiva
para a função
dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(f)
e
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primitiva
da função
, ou seja, encontrar uma função cuja derivada seja
. Além disso, temos que
. Vamos usar o método da integração por partes, que é ótimo para funções que são produtos de polinômios e funções trigonométricas, como é o caso aqui. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, lembremos a fórmula da integração por partes:
Precisamos escolher o que será
e o que será
. Nesse caso, vamos deixar o polinômio
como
porque derivar polinômios simplifica, e o que sobra
será nosso
.
Então:
Passo 3
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, temos uma nova integral
para resolver, que também vai precisar de integração por partes.
Passo 4
Vamos resolver
usando integração por partes novamente. Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Agora, resolvemos
:
Substituindo de volta:
Passo 6
Voltando à nossa primeira integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, temos a primitiva geral:
Precisamos encontrar o valor de
usando a condição
.
Passo 8
Substituindo
na expressão de
:
Sabemos que
. Substituindo:
Simplificando:
Passo 9
Resolvendo para
:
Podemos fatorar
:
Resposta
A primitiva
de
que satisfaz
é: