Encontrar a primitiva F para a função f dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(f) f(x) = x^2 sen(x) e F(pi/4) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a primitiva da função , ou seja, encontrar uma função cuja derivada seja . Além disso, temos que . Vamos usar o método da integração por partes, que é ótimo para funções que são produtos de polinômios e funções trigonométricas, como é o caso aqui. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, lembremos a fórmula da integração por partes:
Precisamos escolher o que será e o que será . Nesse caso, vamos deixar o polinômio como porque derivar polinômios simplifica, e o que sobra será nosso .
Então:

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, temos uma nova integral para resolver, que também vai precisar de integração por partes.

Passo 4

Vamos resolver usando integração por partes novamente. Escolhemos:
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Agora, resolvemos :
Substituindo de volta:

Passo 6

Voltando à nossa primeira integração por partes:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, temos a primitiva geral:
Precisamos encontrar o valor de usando a condição .

Passo 8

Substituindo na expressão de :
Sabemos que . Substituindo:
Simplificando:

Passo 9

Resolvendo para :
Podemos fatorar :

Resposta

A primitiva de que satisfaz é:

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