Um recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de
. O material para a base e a tampa do recipiente custa
por
. Quais as dimensões do recipiente de menor custo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as dimensões de um recipiente que tem a base quadrada e um volume de
. O objetivo é minimizar o custo do material usado na base e na tampa, que custa R$2,00 por
. Vamos usar conhecimentos de geometria e otimização para descobrir as medidas que deixam o custo mais baixo.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar de
o lado da base quadrada e de
a altura do recipiente. Sabemos que o volume
é dado por:
Como o volume é
, temos:
Podemos isolar
:
Passo 3
Agora, vamos pensar no custo. O custo depende da área da base e da tampa. A área da base é
e a da tampa também é
, então a área total para essas duas partes é
. Como o custo é R$2,00 por
, o custo total
será:
Passo 4
Para minimizar o custo, precisamos encontrar o valor de
que minimiza a função
. Mas como estamos trabalhando com restrição de volume, vamos considerar a função de custo em termos de uma única variável. Substituindo
na função de volume, já fizemos isso no passo 2. Então, a função de custo permanece
, que é uma função crescente. Para minimizar, buscamos o menor valor possível de
que satisfaça a condição do volume.
Passo 5
No entanto, percebemos que pode ter algo faltando porque minimizamos apenas a área da base e da tampa. Vamos considerar também as laterais do paralelepípedo. A área das laterais é dada por
, então o custo das laterais é:
Substituindo
da equação do volume:
Agora, o custo total é a soma das bases e das laterais:
Passo 6
Para encontrar o mínimo dessa função, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a equação do volume:
Resposta
As dimensões do recipiente de menor custo são aproximadamente
de lado na base e
de altura.
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