Um recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de 2250 cm^3. O material para a base e a tampa do recipiente custa R por por. Quais as dimensões do recipiente de menor custo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as dimensões de um recipiente que tem a base quadrada e um volume de . O objetivo é minimizar o custo do material usado na base e na tampa, que custa R$2,00 por . Vamos usar conhecimentos de geometria e otimização para descobrir as medidas que deixam o custo mais baixo.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar de x o lado da base quadrada e de h a altura do recipiente. Sabemos que o volume V é dado por:
Como o volume é , temos:
Podemos isolar h:

Passo 3

Agora, vamos pensar no custo. O custo depende da área da base e da tampa. A área da base é e a da tampa também é , então a área total para essas duas partes é . Como o custo é R$2,00 por , o custo total será:

Passo 4

Para minimizar o custo, precisamos encontrar o valor de x que minimiza a função . Mas como estamos trabalhando com restrição de volume, vamos considerar a função de custo em termos de uma única variável. Substituindo h na função de volume, já fizemos isso no passo 2. Então, a função de custo permanece , que é uma função crescente. Para minimizar, buscamos o menor valor possível de x que satisfaça a condição do volume.

Passo 5

No entanto, percebemos que pode ter algo faltando porque minimizamos apenas a área da base e da tampa. Vamos considerar também as laterais do paralelepípedo. A área das laterais é dada por , então o custo das laterais é:
Substituindo h da equação do volume:
Agora, o custo total é a soma das bases e das laterais:

Passo 6

Para encontrar o mínimo dessa função, vamos derivar em relação a x e igualar a zero:
Resolvendo para x:

Passo 7

Agora que temos x, vamos encontrar h usando a equação do volume:

Resposta

As dimensões do recipiente de menor custo são aproximadamente de lado na base e de altura.

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