Em cada problema abaixo, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um como sendo estável ou instável. Esboce a reta de fase e o gráfico do comportamento qualitativo das soluções.
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.
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Passo 1
Vamos resolver o problema de determininação dos pontos de equilíbrio para a equação diferencial
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de autovalores e estabilidade de pontos de equilíbrio em equações diferenciais. Para resolver, precisamos encontrar os valores de
que tornam
e depois verificar se esses pontos são estáveis ou instáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Para isso, igualamos a derivada a zero:
Passo 3
Resolvendo a equação
, temos:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
E como
, concluímos que:
Portanto, o único ponto de equilíbrio é
.
Passo 4
Agora, vamos classificar a estabilidade desse ponto de equilíbrio. Para isso, calculamos a derivada da função
em relação a
:
Avaliar
no ponto de equilíbrio
:
Como
, isso indica que o ponto de equilíbrio
é instável. Em termos intuitivos, pequenas perturbações em torno desse ponto fazem a solução se afastar do equilíbrio.
Passo 5
Por fim, vamos esboçar a reta de fase e o comportamento qualitativo das soluções. Na reta de fase para essa equação:
- Em
, temos um ponto de equilíbrio instável. - Para
, , então as soluções aumentam. - Para
, , então as soluções diminuem.
Isso resulta em setas saindo do ponto
em ambas as direções, caracterizando a instabilidade.
Resposta
O único ponto de equilíbrio é
e ele é instável.
Exercícios relacionados
Verifique a validade dos quantificadores a seguir para a proposição
no universo dos números inteiros: (b)
.
Corrija as seguintes resoluções dos exercícios abaixo, explicando o porquê de cada correção que fizer: (b)
.
Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado:
$(b) ;
$(b)
Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
$(b)
$(b)