Em cada problema abaixo, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um como sendo estável ou instável. Esboce a reta de fase e o gráfico do comportamento qualitativo das soluções.
.

Passo 1

Vamos resolver o problema de determininação dos pontos de equilíbrio para a equação diferencial . Esse tipo de problema faz parte do estudo de autovalores e estabilidade de pontos de equilíbrio em equações diferenciais. Para resolver, precisamos encontrar os valores de que tornam e depois verificar se esses pontos são estáveis ou instáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Para isso, igualamos a derivada a zero:

Passo 3

Resolvendo a equação , temos:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
E como , concluímos que:
Portanto, o único ponto de equilíbrio é .

Passo 4

Agora, vamos classificar a estabilidade desse ponto de equilíbrio. Para isso, calculamos a derivada da função em relação a :
Avaliar no ponto de equilíbrio :
Como , isso indica que o ponto de equilíbrio é instável. Em termos intuitivos, pequenas perturbações em torno desse ponto fazem a solução se afastar do equilíbrio.

Passo 5

Por fim, vamos esboçar a reta de fase e o comportamento qualitativo das soluções. Na reta de fase para essa equação:
  • Em , temos um ponto de equilíbrio instável.
  • Para , , então as soluções aumentam.
  • Para , , então as soluções diminuem.
Isso resulta em setas saindo do ponto em ambas as direções, caracterizando a instabilidade.

Resposta

O único ponto de equilíbrio é e ele é instável.

Exercícios relacionados

Verifique a validade dos quantificadores a seguir para a proposição no universo dos números inteiros: (b) .
Corrija as seguintes resoluções dos exercícios abaixo, explicando o porquê de cada correção que fizer: (b) .
Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado:
$(b) ;
Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
$(b)