Verifique a validade dos quantificadores a seguir para a proposição no universo dos números inteiros: (b) .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a proposição e queremos verificar se a afirmação é válida no universo dos números inteiros. Basicamente, vamos usar conceitos de lógica matemática, especificamente quantificadores universais e a negação de proposições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa. O símbolo é o quantificador universal, que traduzimos como “para todo” ou “para cada”. A expressão é a negação da proposição . Então, significa “para todo número inteiro x, a proposição é verdadeira”.

Passo 3

Para verificar se essa afirmação é válida, precisamos encontrar se sempre que aplicarmos um número inteiro x na equação , a equação não será satisfeita, ou seja, não terá solução inteira. Se conseguirmos encontrar mesmo um único número inteiro que satisfaça a equação, a afirmação será falsa.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática para encontrar possíveis soluções inteiras. Podemos usar a fórmula quadrática:
Onde , e .

Passo 5

Calculando o discriminante:
Como o discriminante é positivo e um quadrado perfeito, sabemos que a equação tem duas soluções reais e racionais.

Passo 6

Aplicando a fórmula:
Então, as soluções são:

Passo 7

Observamos que x = 2 é uma solução inteira para a equação .

Passo 8

Como encontramos um número inteiro (x = 2) que satisfaz , a negação para esse valor de x é falsa. Portanto, a afirmação não é válida no universo dos números inteiros, pois existe pelo menos um x que faz verdadeira.

Resposta

A proposição é inválida no universo dos números inteiros, pois existe x = 2 que satisfaz .

Exercícios relacionados

Corrija as seguintes resoluções dos exercícios abaixo, explicando o porquê de cada correção que fizer: (b) .
Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado:
$(a) ;
Em cada problema abaixo, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um como sendo estável ou instável. Esboce a reta de fase e o gráfico do comportamento qualitativo das soluções.
.
Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado:
$(b) ;