Verifique a validade dos quantificadores a seguir para a proposição
no universo dos números inteiros: (b)
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a proposição
e queremos verificar se a afirmação
é válida no universo dos números inteiros. Basicamente, vamos usar conceitos de lógica matemática, especificamente quantificadores universais e a negação de proposições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
significa. O símbolo
é o quantificador universal, que traduzimos como “para todo” ou “para cada”. A expressão
é a negação da proposição
. Então,
significa “para todo número inteiro x, a proposição
é verdadeira”.
Passo 3
Para verificar se essa afirmação é válida, precisamos encontrar se sempre que aplicarmos um número inteiro x na equação
, a equação não será satisfeita, ou seja, não terá solução inteira. Se conseguirmos encontrar mesmo um único número inteiro que satisfaça a equação, a afirmação
será falsa.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
para encontrar possíveis soluções inteiras. Podemos usar a fórmula quadrática:
Onde
,
e
.
Passo 5
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é positivo e um quadrado perfeito, sabemos que a equação tem duas soluções reais e racionais.
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Então, as soluções são:
Passo 7
Observamos que x = 2 é uma solução inteira para a equação
.
Passo 8
Como encontramos um número inteiro (x = 2) que satisfaz
, a negação
para esse valor de x é falsa. Portanto, a afirmação
não é válida no universo dos números inteiros, pois existe pelo menos um x que faz
verdadeira.
Resposta
A proposição
é inválida no universo dos números inteiros, pois existe x = 2 que satisfaz
.
Exercícios relacionados
Corrija as seguintes resoluções dos exercícios abaixo, explicando o porquê de cada correção que fizer: (b)
.
Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado:
$(a) ;
$(a)
Em cada problema abaixo, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um como sendo estável ou instável. Esboce a reta de fase e o gráfico do comportamento qualitativo das soluções.
$© .
$©
Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado:
$(b) ;
$(b)