Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
$(b)
$(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de questão está dentro do estudo de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
:
Isso nos ajuda a ver que a equação é separável, ou seja, podemos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Dessa forma, todas as expressões com
ficam de um lado e as com
do outro.
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é uma integral que conseguimos resolver facilmente:
Aqui,
é a constante de integração que aparece após a integração.
Passo 5
Do outro lado, temos a integral de
:
Passo 6
Agora, juntamos as duas integrais:
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
onde
ainda é uma constante.
Passo 7
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado:
$(b) ;
$(b)
Em cada problema abaixo, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um como sendo estável ou instável. Esboce a reta de fase e o gráfico do comportamento qualitativo das soluções.
$© .
$©
Determine e esboce
Reescreva cada teorema abaixo usando os termos (a) Se uma matriz quadrada de ordem 3 possui duas colunas proporcionais, então seu determinante é nulo.