Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
$(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de questão está dentro do estudo de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente das equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar :
Isso nos ajuda a ver que a equação é separável, ou seja, podemos separar os termos que envolvem dos que envolvem .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Dessa forma, todas as expressões com ficam de um lado e as com do outro.

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de é uma integral que conseguimos resolver facilmente:
Aqui, é a constante de integração que aparece após a integração.

Passo 5

Do outro lado, temos a integral de :
é outra constante de integração. Mas como estamos tratando de uma equação diferencial, podemos combinar e em uma única constante .

Passo 6

Agora, juntamos as duas integrais:
Vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
onde ainda é uma constante.

Passo 7

Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado:
$(b) ;
Em cada problema abaixo, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um como sendo estável ou instável. Esboce a reta de fase e o gráfico do comportamento qualitativo das soluções.
.
Determine e esboce
Reescreva cada teorema abaixo usando os termos (a) Se uma matriz quadrada de ordem 3 possui duas colunas proporcionais, então seu determinante é nulo.