Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado:
$(b) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação linear. Vamos seguir os passos juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. A equação está na forma padrão:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante . O fator integrante é dado por:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso facilita bastante a resolução!

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a do lado direito é , onde é a constante de integração. Então:

Passo 7

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Precisamos determinar o valor da constante usando a condição inicial . Substituindo e :
Simplificando:
Como , temos:
Logo:

Passo 9

Substituímos o valor de na expressão de :
Fatorando :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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Em cada problema abaixo, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um como sendo estável ou instável. Esboce a reta de fase e o gráfico do comportamento qualitativo das soluções.
.
Verifique a validade dos quantificadores a seguir para a proposição no universo dos números inteiros: (b) .
Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
$(b)
Determine e esboce