Em cada um dos problemas abaixo, encontre a solução do problema de valor inicial dado:
$(b)
;
$(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação linear. Vamos seguir os passos juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. A equação está na forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
. O fator integrante é dado por:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso facilita bastante a resolução!
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a do lado direito é
, onde
é a constante de integração. Então:
Passo 7
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Precisamos determinar o valor da constante
usando a condição inicial
. Substituindo
e
:
Simplificando:
Como
, temos:
Logo:
Passo 9
Substituímos o valor de
na expressão de
:
Fatorando
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Exercícios relacionados
Em cada problema abaixo, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um como sendo estável ou instável. Esboce a reta de fase e o gráfico do comportamento qualitativo das soluções.
$© .
$©
Verifique a validade dos quantificadores a seguir para a proposição
no universo dos números inteiros: (b)
.
Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
$(b)
$(b)
Determine e esboce