Para cada problema abaixo, determine se é um problema de Cauchy. SEM RESOLVER, estude a existência e unicidade de solução. Em caso de ter solução, determine um intervalo onde pousa garantir que isso acontece.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você apresentou. A gente tem uma equação diferencial inicial, que é chamada de problema de Cauchy. Esse tipo de problema envolve uma equação diferencial e uma condição inicial. No nosso caso, a equação é
com a condição
.
Para resolver esse tipo de problema, precisamos entender um pouco sobre a existência e unicidade da solução. Isso significa verificar se existe uma única solução que satisfaz a equação e a condição inicial. Para isso, vamos usar o Teorema de Picard-Lindelöf, que nos ajuda a garantir a existência e unicidade da solução sob certas condições.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função
da nossa equação diferencial. Aqui, temos:
Segundo o Teorema de Picard-Lindelöf, para garantir a existência e unicidade da solução, a função
e sua derivada parcial em relação a
, ou seja,
, precisam ser contínuas em torno do ponto inicial
, que nesse caso é
.
Vamos verificar a continuidade:
-
A função
é um polinômio em e , portanto, é contínua em todo o plano . -
A derivada parcial de
em relação a é:
Essa derivada também é um polinômio e, portanto, contínua em todo o plano
.
Passo 3
Como tanto
quanto
são contínuas em um intervalo ao redor de
, o Teorema de Picard-Lindelöf nos garante que existe uma única solução para o problema de Cauchy dado.
Agora, sobre o intervalo onde a solução existe e é única, como as funções são polinomiais e contínuas em todo o seu domínio, a solução existe e é única em um intervalo aberto que contém
. Esse intervalo pode ser escolhido como, por exemplo,
, onde
é um número positivo pequeno que depende da região onde estamos analisando a continuidade.
No entanto, sem resolver a equação, não podemos especificar o valor exato de
, mas sabemos que tal intervalo existe.
Resposta
Sim, é um problema de Cauchy. Existe uma única solução para a equação diferencial dada, e essa solução está garantida em um intervalo aberto que contém
.
Exercícios relacionados
Cálcule a solução geral das seguintes EDOs:
.
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.
Para cada problema abaixo, determine se é um problema de Cauchy. SEM RESOLVER, estude a existência e unicidade de solução. Em caso de ter solução, determine um intervalo onde pousa garantir que isso acontece.
Cálcular a solução geral das seguintes equações: