Cálcule a solução geral das seguintes EDOs:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO):
Vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem e usar o método do fator integrante para resolver. Precisaremos aplicar um pouco de cálculo e manipulação algébrica para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação no formato padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
que nos ajudará a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
:
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Passo 7
Voltando à equação anterior:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.
Cálcule a solução geral das seguintes EDOs:
Para cada problema abaixo, determine se é um problema de Cauchy. SEM RESOLVER, estude a existência e unicidade de solução. Em caso de ter solução, determine um intervalo onde pousa garantir que isso acontece.
Para cada problema abaixo, determine se é um problema de Cauchy. SEM RESOLVER, estude a existência e unicidade de solução. Em caso de ter solução, determine um intervalo onde pousa garantir que isso acontece.