Cálcule a solução geral das seguintes EDOs:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO):
Vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem e usar o método do fator integrante para resolver. Precisaremos aplicar um pouco de cálculo e manipulação algébrica para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação no formato padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante que nos ajudará a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto :
Para encontrar , vamos integrar ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 7

Voltando à equação anterior:
Para isolar , multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é:

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Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.
Cálcule a solução geral das seguintes EDOs:
Para cada problema abaixo, determine se é um problema de Cauchy. SEM RESOLVER, estude a existência e unicidade de solução. Em caso de ter solução, determine um intervalo onde pousa garantir que isso acontece.
Para cada problema abaixo, determine se é um problema de Cauchy. SEM RESOLVER, estude a existência e unicidade de solução. Em caso de ter solução, determine um intervalo onde pousa garantir que isso acontece.