Cálcular a solução geral das seguintes equações:
y' = (x - 2) / (x + y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial:
Essa questão está no campo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação e nos permita encontrar uma solução. Vamos resolver juntos, passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos definir uma nova variável que seja a soma de e :

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para relacionar com :
Aqui, usamos a regra da derivada para somas, onde a derivada de é 1 e a derivada de é .

Passo 4

Substituindo da equação original na expressão que encontramos para :
Agora, temos uma nova equação em termos de e :

Passo 5

Vamos reorganizar essa equação para facilitar a resolução:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Agora, reorganizamos os termos para separar as variáveis e :
Fatorando na parte esquerda:

Passo 7

Vamos separar as variáveis para integrar. Primeiro, escrevemos em termos de e :
Isolando :
Agora, multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Essa equação ainda está complicada, então vamos tentar uma substituição adicional. Notamos que , então podemos tentar expressar em termos de .
Mas uma abordagem mais direta seria reconsiderar a substituição inicial ou usar um método diferente, como equações homogêneas. Observando a equação original:
Podemos notar que a equação é homogênea de grau 1, pois ambos e aparecem no mesmo grau no numerador e denominador. Isso sugere usar a substituição .

Passo 9

Vamos então definir . Isso implica que . Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 10

Substituindo e na equação original:

Passo 11

Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo :

Passo 12

Simplificando:
Vamos isolar os termos com :

Passo 13

Rearranjando para separar as variáveis:
Essa equação ainda é bastante complicada, e nossa tentativa inicial com substituições não simplificou o suficiente.

Passo 14

Vamos tentar outra abordagem com a substituição inicial . Retomando o Passo 2, temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:

Passo 15

Essa equação ainda é difícil de integrar diretamente. Vamos tentar uma substituição diferente ou considerar métodos alternativos, como encontrar uma solução particular ou usar equações exatas. No entanto, parece que a equação não se encaixa claramente nessas categorias.

Passo 16

Diante da complexidade, podemos concluir que a solução geral dessa equação diferencial não pode ser expressa em termos de funções elementares simples e pode requerer métodos avançados ou soluções implícitas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial não pode ser expressa de forma explícita usando funções elementares simples e requer métodos avançados para ser representada.

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