Para cada problema abaixo, determine se é um problema de Cauchy. SEM RESOLVER, estude a existência e unicidade de solução. Em caso de ter solução, determine um intervalo onde pousa garantir que isso acontece.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial com uma condição inicial:
O conteúdo aqui é sobre problemas de Cauchy, que envolvem equações diferenciais com condições iniciais. Para resolver, vamos precisar entender as condições de existência e unicidade das soluções, geralmente usando o teorema de Picard-Lindelöf, que verifica se as funções envolvidas são contínuas e satisfazem a condição de Lipschitz.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o problema dado é realmente um problema de Cauchy. Um problema de Cauchy típico tem a forma:
No nosso caso, temos
, que é uma condição inicial para a derivada de
no ponto
. Porém, o formato padrão espera uma condição para
e não para
. Portanto, este não é um problema de Cauchy típico, já que a condição inicial está dada para a derivada e não para a função
em si.
Passo 3
Mesmo assim, vamos analisar a existência e unicidade da solução para a equação diferencial dada. A equação é:
Para aplicar o teorema de existência e unicidade de Picard-Lindelöf, precisamos verificar se a função
é contínua em alguma região ao redor do ponto inicial e se satisfaz a condição de Lipschitz em
.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar a continuidade de
. A função seno e exponencial são contínuas para todos os valores de
e
, então
é contínua em todo o plano
.
Passo 5
Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz em
. Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Como
está limitado entre -1 e 1, e
é sempre positivo e cresce exponentemente, a derivada parcial é contínua e, portanto, satisfaz a condição de Lipschitz localmente.
Passo 6
Como
é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em
em qualquer região do plano, pelo teorema de Picard-Lindelöf, existe e é única a solução da equação diferencial
passando pelo ponto inicial especificado.
Passo 7
Para determinar um intervalo onde garantimos a existência e unicidade da solução, podemos considerar um intervalo aberto ao redor de
, por exemplo,
, onde
é um número positivo pequeno o suficiente para manter as condições de continuidade e Lipschitz.
Resposta
Sim, o problema não é um problema de Cauchy típico. Entretanto, para a equação diferencial dada
com a condição inicial
, existe e é única a solução em um intervalo aberto ao redor de
.