Para cada problema abaixo, determine se é um problema de Cauchy. SEM RESOLVER, estude a existência e unicidade de solução. Em caso de ter solução, determine um intervalo onde pousa garantir que isso acontece.
y' = sen(y^3) e^x^2 y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial com uma condição inicial:
O conteúdo aqui é sobre problemas de Cauchy, que envolvem equações diferenciais com condições iniciais. Para resolver, vamos precisar entender as condições de existência e unicidade das soluções, geralmente usando o teorema de Picard-Lindelöf, que verifica se as funções envolvidas são contínuas e satisfazem a condição de Lipschitz.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o problema dado é realmente um problema de Cauchy. Um problema de Cauchy típico tem a forma:
No nosso caso, temos , que é uma condição inicial para a derivada de no ponto . Porém, o formato padrão espera uma condição para e não para . Portanto, este não é um problema de Cauchy típico, já que a condição inicial está dada para a derivada e não para a função em si.

Passo 3

Mesmo assim, vamos analisar a existência e unicidade da solução para a equação diferencial dada. A equação é:
Para aplicar o teorema de existência e unicidade de Picard-Lindelöf, precisamos verificar se a função é contínua em alguma região ao redor do ponto inicial e se satisfaz a condição de Lipschitz em .

Passo 4

Primeiro, vamos verificar a continuidade de . A função seno e exponencial são contínuas para todos os valores de e , então é contínua em todo o plano .

Passo 5

Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz em . Calculamos a derivada parcial de em relação a :
Como está limitado entre -1 e 1, e é sempre positivo e cresce exponentemente, a derivada parcial é contínua e, portanto, satisfaz a condição de Lipschitz localmente.

Passo 6

Como é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em em qualquer região do plano, pelo teorema de Picard-Lindelöf, existe e é única a solução da equação diferencial passando pelo ponto inicial especificado.

Passo 7

Para determinar um intervalo onde garantimos a existência e unicidade da solução, podemos considerar um intervalo aberto ao redor de , por exemplo, , onde é um número positivo pequeno o suficiente para manter as condições de continuidade e Lipschitz.

Resposta

Sim, o problema não é um problema de Cauchy típico. Entretanto, para a equação diferencial dada com a condição inicial , existe e é única a solução em um intervalo aberto ao redor de .

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