Para cada problema abaixo, determine se é um problema de Cauchy. SEM RESOLVER, estude a existência e unicidade de solução. Em caso de ter solução, determine um intervalo onde pousa garantir que isso acontece.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial com uma condição inicial:
O conteúdo aqui é sobre problemas de Cauchy, que envolvem equações diferenciais com condições iniciais. Para resolver, vamos precisar entender as condições de existência e unicidade das soluções, geralmente usando o teorema de Picard-Lindelöf, que verifica se as funções envolvidas são contínuas e satisfazem a condição de Lipschitz.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o problema dado é realmente um problema de Cauchy. Um problema de Cauchy típico tem a forma:
No nosso caso, temos
, que é uma condição inicial para a derivada de
no ponto
. Porém, o formato padrão espera uma condição para
e não para
. Portanto, este não é um problema de Cauchy típico, já que a condição inicial está dada para a derivada e não para a função
em si.
Passo 3
Mesmo assim, vamos analisar a existência e unicidade da solução para a equação diferencial dada. A equação é:
Para aplicar o teorema de existência e unicidade de Picard-Lindelöf, precisamos verificar se a função
é contínua em alguma região ao redor do ponto inicial e se satisfaz a condição de Lipschitz em
.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar a continuidade de
. A função seno e exponencial são contínuas para todos os valores de
e
, então
é contínua em todo o plano
.
Passo 5
Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz em
. Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Como
está limitado entre -1 e 1, e
é sempre positivo e cresce exponentemente, a derivada parcial é contínua e, portanto, satisfaz a condição de Lipschitz localmente.
Passo 6
Como
é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em
em qualquer região do plano, pelo teorema de Picard-Lindelöf, existe e é única a solução da equação diferencial
passando pelo ponto inicial especificado.
Passo 7
Para determinar um intervalo onde garantimos a existência e unicidade da solução, podemos considerar um intervalo aberto ao redor de
, por exemplo,
, onde
é um número positivo pequeno o suficiente para manter as condições de continuidade e Lipschitz.
Resposta
Sim, o problema não é um problema de Cauchy típico. Entretanto, para a equação diferencial dada
com a condição inicial
, existe e é única a solução em um intervalo aberto ao redor de
.
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<html><head></head><body><div>Cálcule a solução geral das seguintes EDOs:<br>
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Cálcular a solução geral das seguintes equações:<br>
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Cálcular a solução geral das seguintes equações:<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.108ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“10.737ex” height=“3.27ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -955.2 4745.8 1445.1”><title>y’ = (x + y + 3) / (x + y - 1)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 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