Cálcular a solução geral das seguintes equações:
y' = (x + y + 3) / (x + y - 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação . Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem e substituição de variáveis para simplificar a equação e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação fazendo uma substituição que facilite os cálculos. Observando que temos tanto no numerador quanto no denominador, vamos definir uma nova variável:
Agora, precisamos expressar em termos de .

Passo 3

Derivando em relação a , temos:
Isso porque a derivada de em relação a é 1 e a derivada de em relação a é .

Passo 4

Vamos substituir na equação original usando a expressão que encontramos para :
Substituindo na equação dada:

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação para isolarmos :
Para somar as frações, colocamos 1 como :
Podemos simplificar isso dividindo numerador e denominador por 2:

Passo 6

Vamos separar as variáveis para facilitar a integração:
Rearranjando:

Passo 7

Agora, vamos integrar ambos os lados. Para a integral do lado esquerdo, podemos simplificar a fração:
Então, a integral fica:
Integrando:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos de volta na equação:
Podemos reorganizar para isolar :

Passo 9

Para expressar a solução de forma explícita, podemos deixar a equação assim, já que isolar completamente pode não ser simples:

Resposta

A solu��ão geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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