Cálcular a solução geral das seguintes equações:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação
. Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem e substituição de variáveis para simplificar a equação e facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação fazendo uma substituição que facilite os cálculos. Observando que temos
tanto no numerador quanto no denominador, vamos definir uma nova variável:
Agora, precisamos expressar
em termos de
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, temos:
Isso porque a derivada de
em relação a
é 1 e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Vamos substituir
na equação original usando a expressão que encontramos para
:
Substituindo na equação dada:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a equação para isolarmos
:
Para somar as frações, colocamos 1 como
:
Podemos simplificar isso dividindo numerador e denominador por 2:
Passo 6
Vamos separar as variáveis para facilitar a integração:
Rearranjando:
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados. Para a integral do lado esquerdo, podemos simplificar a fração:
Então, a integral fica:
Integrando:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, substituímos
de volta na equação:
Podemos reorganizar para isolar
:
Passo 9
Para expressar a solução de forma explícita, podemos deixar a equação assim, já que isolar
completamente pode não ser simples:
Resposta
A solu��ão geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.108ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“8.709ex” height=“3.074ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -868.9 3849.2 1358.9”><title>y’ = (x - 2) / (x + y)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D466” d=“M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 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</body></html>
<html><head></head><body><div>Para cada problema abaixo, determine se é um problema de Cauchy. SEM RESOLVER, estude a existência e unicidade de solução. Em caso de ter solução, determine um intervalo onde pousa garantir que isso acontece.<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -2.827ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“17.012ex” height=“6.785ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1749.5 7519.3 2999”><title>y’ = sen(y^3) ex2
y’(0) = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 -0.5)”><path data-c=“7B” d=“M661 -1243L655 -1249H622L604 -1240Q503 -1190 434 -1107T348 -909Q346 -897 346 -499L345 -98L343 -82Q335 3 287 87T157 223Q146 232 145 236Q144 240 144 250Q144 265 145 268T157 278Q242 333 288 417T343 583L345 600L346 1001Q346 1398 348 1410Q379 1622 600 1739L622 1750H655L661 1744V1727V1721Q661 1712 661 1710T657 1705T648 1700T630 1690T602 1668Q589 1659 574 1643T531 1593T484 1508T459 1398Q458 1389 458 1001Q458 614 457 605Q441 435 301 316Q254 277 202 251L250 222Q260 216 301 185Q443 66 457 -104Q458 -113 458 -501Q458 -888 459 -897Q463 -944 478 -988T509 -1060T548 -1114T580 -1149T602 -1167Q620 -1183 634 -1192T653 -1202T659 -1207T661 -1220V-1226V-1243Z”></path></g><g data-mml-node=“mtable” transform=“translate(806,0)”><g data-mml-node=“mtr” transform=“translate(0,652.9)”><g 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<html><head></head><body><div>Classifique as equações diferencias a seguir dizendo se elas são lineares ou nãolineares e determine sua ordem.<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.87ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“17.486ex” height=“3.3ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1074.1 7728.9 1458.8”><title>d3y/dx3 + 9y = sen(y)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mfrac”><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(249,485) scale(0.707)”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D451” d=“M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 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