Cálcular a solução geral das seguintes equações:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação
. Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem e substituição de variáveis para simplificar a equação e facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação fazendo uma substituição que facilite os cálculos. Observando que temos
tanto no numerador quanto no denominador, vamos definir uma nova variável:
Agora, precisamos expressar
em termos de
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, temos:
Isso porque a derivada de
em relação a
é 1 e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Vamos substituir
na equação original usando a expressão que encontramos para
:
Substituindo na equação dada:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a equação para isolarmos
:
Para somar as frações, colocamos 1 como
:
Podemos simplificar isso dividindo numerador e denominador por 2:
Passo 6
Vamos separar as variáveis para facilitar a integração:
Rearranjando:
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados. Para a integral do lado esquerdo, podemos simplificar a fração:
Então, a integral fica:
Integrando:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, substituímos
de volta na equação:
Podemos reorganizar para isolar
:
Passo 9
Para expressar a solução de forma explícita, podemos deixar a equação assim, já que isolar
completamente pode não ser simples:
Resposta
A solu��ão geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.