Em cada um dos problema abaixo, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada sem resolver a equação:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada sem precisar resolver a equação. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem, por isso vamos precisar entender o que é o wronskiano e como ele se relaciona com essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixá-la no formato padrão de uma equação linear de segunda ordem. A equação dada é:
Para deixá-la no formato padrão
, dividimos todos os termos por
:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da Identidade de Abel, que nos ajuda a encontrar o wronskiano sem precisar resolver a equação diferencial. A identidade de Abel estabelece que, para uma equação diferencial linear de segunda ordem como a nossa:
O wronskiano
das duas soluções é dado por:
Onde
é uma constante.
Passo 4
Vamos aplicar essa identidade à nossa equação. Sabemos que
, então:
Substituindo na fórmula do wronskiano:
Passo 5
Simplificando a expressão
, usamos a propriedade dos logaritmos e exponenciais:
Portanto, o wronskiano fica:
Resposta
O wronskiano das duas soluções da equação diferencial dada é:
Onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Determine um
para
, tal que
Para cada funçào
sào dados
Calcular
nos seguintes casos:
(n)
(n)
Utilize as fórmulas de adição e subtração de
e calcule
e
.
(PUC) Se
e
, determine:
.