Em cada um dos problema abaixo, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada sem resolver a equação:
x^2 y'' + x y' + (x^2 - alpha^2) y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada sem precisar resolver a equação. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem, por isso vamos precisar entender o que é o wronskiano e como ele se relaciona com essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixá-la no formato padrão de uma equação linear de segunda ordem. A equação dada é:
Para deixá-la no formato padrão , dividimos todos os termos por :
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Identidade de Abel, que nos ajuda a encontrar o wronskiano sem precisar resolver a equação diferencial. A identidade de Abel estabelece que, para uma equação diferencial linear de segunda ordem como a nossa:
O wronskiano das duas soluções é dado por:
Onde é uma constante.

Passo 4

Vamos aplicar essa identidade à nossa equação. Sabemos que , então:
Substituindo na fórmula do wronskiano:

Passo 5

Simplificando a expressão , usamos a propriedade dos logaritmos e exponenciais:
Portanto, o wronskiano fica:

Resposta

O wronskiano das duas soluções da equação diferencial dada é:
Onde é uma constante.

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