Determine um de0 para epsilon>0, tal que
se 0<|x-x0|â
Para cada funçào f(x) sào dados
lim x x0 f(x)=L
lim x 0 1x^3+1=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver um exercício de cálculo sobre limites. O enunciado nos pede para encontrar um valor de para um dado , de modo que, se , então . No caso, a função é , o limite é 1, e é 0. Vamos usar conceitos de limites e manipulação algébrica para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa | 1x^3 + 1 - 1 | < epsilon . Substituindo os valores:
Vamos simplificar essa expressão para encontrar uma relação direta com .

Passo 3

Simplificando a expressão dentro do módulo:
| 1x^3 + 1 - 1 | = | 1 - (x^3 + 1)x^3 + 1 | = | -x^3x^3 + 1 | = |x^3||x^3 + 1|
Agora, temos:
|x^3||x^3 + 1| < epsilon

Passo 4

Nossa meta é encontrar tal que implique . Para facilitar, vamos encontrar um limite inferior para .
Quando está próximo de 0, é muito pequeno, então está próximo de 1. Podemos garantir que se .

Passo 5

Assumindo que |x^3 + 1| >= 1 - |x^3| >= 1 - |x|^3 >= 1 - 1 = 0 , temos:
Para garantir , podemos escolher .

Passo 6

Com |x^3||x^3 + 1| <= 2|x^3| < epsilon , a desigualdade original fica:
|x^3| < epsilon2
Então, queremos que |x| < ( epsilon2 )^1/3 , ou seja:
Tomando a raiz cúbica de ambos os lados:

Passo 7

Finalmente, para garantir que ambas as condições sejam atendidas ( de e ), escolhemos:

Resposta

Portanto, para todo de, podemos escolher:
Isso garante que, se , então .

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