Determine um para , tal que
â
Para cada funçào sào dados

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver um exercício de cálculo sobre limites. O enunciado nos pede para encontrar um valor de para um dado , de modo que, se , então . No caso, a função é , o limite é 1, e é 0. Vamos usar conceitos de limites e manipulação algébrica para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Substituindo os valores:
Vamos simplificar essa expressão para encontrar uma relação direta com .

Passo 3

Simplificando a expressão dentro do módulo:
Agora, temos:

Passo 4

Nossa meta é encontrar tal que implique . Para facilitar, vamos encontrar um limite inferior para .
Quando está próximo de 0, é muito pequeno, então está próximo de 1. Podemos garantir que se .

Passo 5

Assumindo que , temos:
Para garantir , podemos escolher .

Passo 6

Com , a desigualdade original fica:
Então, queremos que , ou seja:
Tomando a raiz cúbica de ambos os lados:

Passo 7

Finalmente, para garantir que ambas as condições sejam atendidas ( e ), escolhemos:

Resposta

Portanto, para todo , podemos escolher:
Isso garante que, se , então .

Exercícios relacionados

Calcular nos seguintes casos:
(n)
Em cada um dos problemas abaixo, determine o maior intervalo no qual o PVI dado certamente tem uma única solução. Não encontre a solução.
.
Em cada um dos problema abaixo, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada sem resolver a equação:
.
Utilize as fórmulas de adição e subtração de e calcule e .