Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver um exercício de cálculo sobre limites. O enunciado nos pede para encontrar um valor de para um dado , de modo que, se , então . No caso, a função é , o limite é 1, e é 0. Vamos usar conceitos de limites e manipulação algébrica para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Substituindo os valores:
Vamos simplificar essa expressão para encontrar uma relação direta com .
Passo 3
Simplificando a expressão dentro do módulo:
Agora, temos:
Passo 4
Nossa meta é encontrar tal que implique . Para facilitar, vamos encontrar um limite inferior para .
Quando está próximo de 0, é muito pequeno, então está próximo de 1. Podemos garantir que se .
Passo 5
Assumindo que , temos:
Para garantir , podemos escolher .
Passo 6
Com , a desigualdade original fica:
Então, queremos que , ou seja:
Tomando a raiz cúbica de ambos os lados:
Passo 7
Finalmente, para garantir que ambas as condições sejam atendidas ( e ), escolhemos: