Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz. y' + (1 / x) y = 3 cos(2 x), x > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial aí! A equação que temos é para . O assunto aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um fator integrante, que ajuda a transformar a equação em uma forma que facilita achar a solução.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes na equação geral da forma . No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por . Calculando:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso transforma a equação em uma forma que o lado esquerdo é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos e .
Calculando:
Então:
Multiplicando por 3:

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Finalmente, temos a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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