Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial aí! A equação que temos é
para
. O assunto aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um fator integrante, que ajuda a transformar a equação em uma forma que facilita achar a solução.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes na equação geral da forma
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por
. Calculando:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação em uma forma que o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos
e
.
Calculando:
Então:
Multiplicando por 3:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Finalmente, temos a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Dada a sequência na forma
, encontrar
nos seguintes casos:
b)
b)
Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.
Use o Teorema da Convergência Monótona para mostrar que a sequência
é convergente. A partir daí, determine seu limite.
Dada a sequência na forma
, encontrar
nos seguintes casos:
a)
a)