Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta. lim (x, y, z) (0,0,0) x^2 y^2 z^2x^6+y^6+z^6

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente sobre limites em várias variáveis. Pra resolver isso, vamos precisar analisar como a função se comporta quando , e ficam bem próximos de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função no numerador e no denominador. O numerador é e o denominador é . A gente vai querer entender como esses termos se comparam quando , e ficam pequenos.

Passo 3

Perceba que no numerador, cada variável está elevada ao quadrado, enquanto no denominador, cada uma está elevada à sexta potência. Isso significa que, conforme , e se aproximam de zero, o denominador tende a zero mais rápido que o numerador. Mas precisamos verificar isso de forma mais precisa.

Passo 4

Vamos usar uma técnica chamada “desigualdade de comparação”, onde vamos comparar a função dada com outra função mais simples que sabemos o limite. Note que , já que somar os termos individualmente é maior ou igual a uma média deles.

Passo 5

Agora, observamos que |x^2 y^2 z^2| <= (x^2 + y^2 + z^23)^3 é menor ou igual a pela desigualdade de média aritmética e geométrica. Portanto, podemos dizer que:

Passo 6

Substituindo isso na nossa função original, temos:
|x^2 y^2 z^2x^6+y^6+z^6| <= (x^2 + y^2 + z^23)^3x^6+y^6+z^6
Isso nos ajuda a limitar o valor da função original.

Passo 7

Agora, como está perto de zero, quando elevamos ao cubo fica ainda menor. E como o denominador também está tendendo a zero, mas de forma mais rápida, o quociente geral vai se aproximar de zero.

Passo 8

Finalmente, já que fizemos uma estimativa que mostra que o valor absoluto da função tende a zero, concluímos que o limite da função também é zero.

Resposta

O limite é .

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