Dada a sequência na forma {a1, a2, a3, ..., an, ...}, encontrar a_n nos seguintes casos:
a) {1/2, 1/3, 1/6, 1/7, 1/10, 1/11, ...}

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência que segue o padrão {1/2, 1/3, 1/6, 1/7, 1/10, 1/11, ...}. Nosso objetivo aqui é descobrir uma fórmula geral para o termo a_n dessa sequência. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre sequências e padrões, identificando como os denominadores estão se comportando para podermos expressá-los em função de n.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os denominadores da sequência: . Observando esses números, vemos que eles seguem um certo padrão de incremento. Vamos listar os denominadores com suas posições:
Notamos que a cada dois termos, o denominador aumenta de 4. Por exemplo:
  • De para , aumenta 1.
  • De para , aumenta .
  • De para , aumenta 1.
  • De para , aumenta .
  • E assim por diante.
Isso sugere que os denominadores alternam entre adicionar 1 e adicionar .

Passo 3

Vamos tentar expressar o denominador geral em função de n. Observando o padrão, percebemos que os denominadores pares e ímpares seguem padrões distintos:
  • Para posições ímpares ( ):
    Aqui, podemos ver que cada denominador ímpar aumenta de : . Isso pode ser expresso como:
  • Para posições pares ( ):
    Da mesma forma, os denominadores pares também aumentam de : . Isso pode ser expresso como:

Passo 4

Agora, para unificar as duas fórmulas em uma única expressão que funcione para qualquer n, podemos utilizar uma expressão que leve em conta se n é par ou ímpar. Uma forma de fazer isso é utilizando a função módulo para distinguir entre os casos.
Podemos observar que tanto para números pares quanto para ímpares, os denominadores podem ser expressos da seguinte maneira:
Simplificando, podemos chegar a:
Mas para simplificar ainda mais, percebemos que:

Resposta

A fórmula geral para o termo a_n da sequência é:

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