Dada a sequência na forma , encontrar nos seguintes casos:
a)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência que segue o padrão . Nosso objetivo aqui é descobrir uma fórmula geral para o termo dessa sequência. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre sequências e padrões, identificando como os denominadores estão se comportando para podermos expressá-los em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os denominadores da sequência: . Observando esses números, vemos que eles seguem um certo padrão de incremento. Vamos listar os denominadores com suas posições:
Notamos que a cada dois termos, o denominador aumenta de 4. Por exemplo:
  • De para , aumenta .
  • De para , aumenta .
  • De para , aumenta .
  • De para , aumenta .
  • E assim por diante.
Isso sugere que os denominadores alternam entre adicionar e adicionar .

Passo 3

Vamos tentar expressar o denominador geral em função de . Observando o padrão, percebemos que os denominadores pares e ímpares seguem padrões distintos:
  • Para posições ímpares ( ):
    Aqui, podemos ver que cada denominador ímpar aumenta de : . Isso pode ser expresso como:
  • Para posições pares ( ):
    Da mesma forma, os denominadores pares também aumentam de : . Isso pode ser expresso como:

Passo 4

Agora, para unificar as duas fórmulas em uma única expressão que funcione para qualquer , podemos utilizar uma expressão que leve em conta se é par ou ímpar. Uma forma de fazer isso é utilizando a função módulo para distinguir entre os casos.
Podemos observar que tanto para números pares quanto para ímpares, os denominadores podem ser expressos da seguinte maneira:
Simplificando, podemos chegar a:
Mas para simplificar ainda mais, percebemos que:

Resposta

A fórmula geral para o termo da sequência é:

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Para esses subconjuntos determine:
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(5.1) limitado pelo plano e pelo hemisfério (Pode assumir o resultado para o volume da esfera e que a abcissa e a ordenada do centróide são iguais a 0 );