Dada a sequência na forma
, encontrar
nos seguintes casos:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência que segue o padrão
. Nosso objetivo aqui é descobrir uma fórmula geral para o termo
dessa sequência. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre sequências e padrões, identificando como os denominadores estão se comportando para podermos expressá-los em função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os denominadores da sequência:
. Observando esses números, vemos que eles seguem um certo padrão de incremento. Vamos listar os denominadores com suas posições:
Notamos que a cada dois termos, o denominador aumenta de 4. Por exemplo:
- De
para , aumenta . - De
para , aumenta . - De
para , aumenta . - De
para , aumenta . - E assim por diante.
Isso sugere que os denominadores alternam entre adicionar
e adicionar
.
Passo 3
Vamos tentar expressar o denominador geral em função de
. Observando o padrão, percebemos que os denominadores pares e ímpares seguem padrões distintos:
-
Para posições ímpares (
): Aqui, podemos ver que cada denominador ímpar aumenta de: . Isso pode ser expresso como: -
-
Para posições pares (
): Da mesma forma, os denominadores pares também aumentam de: . Isso pode ser expresso como: -
Passo 4
Agora, para unificar as duas fórmulas em uma única expressão que funcione para qualquer
, podemos utilizar uma expressão que leve em conta se
é par ou ímpar. Uma forma de fazer isso é utilizando a função módulo para distinguir entre os casos.
Podemos observar que tanto para números pares quanto para ímpares, os denominadores podem ser expressos da seguinte maneira:
Simplificando, podemos chegar a:
Mas para simplificar ainda mais, percebemos que:
Resposta
A fórmula geral para o termo
da sequência é: