Use o Teorema da Convergência Monótona para mostrar que a sequência {n!/n^n}_{n ≥ 1} é convergente. A partir daí, determine seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o Teorema da Convergência Monótona para mostrar que a sequência {n!/n^n}_{n ≥ 1} converge. Depois disso, temos que descobrir qual é esse limite. Então, vamos precisar entender o que é essa sequência, saber um pouco sobre o teorema e aplicar passo a passo pra chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a sequência: . Aqui, significa o fatorial de n, que é o produto de todos os números de 1 até n. Já é n elevado à potência n. Basicamente, estamos comparando o crescimento do fatorial com o crescimento exponencial.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o Teorema da Convergência Monótona. Esse teorema diz que se uma sequência é monotônica (ou seja, sempre crescente ou sempre decrescente) e limitada, então ela converge para algum limite.

Passo 4

Vamos verificar se nossa sequência é monotônica. Observando os termos, vemos que conforme n aumenta, o denominador cresce muito mais rápido que o numerador . Isso sugere que a sequência está decrescendo.

Passo 5

Além disso, precisamos ver se a sequência é limitada. Como é sempre positiva (porque estamos dividindo números positivos), podemos dizer que a sequência é limitada inferiormente por 0.

Passo 6

Como nossa sequência é decrescente e está limitada abaixo por 0, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela deve convergir. Agora, vamos encontrar o limite dessa sequência.

Passo 7

Para encontrar o limite de quando n tende ao infinito, podemos usar o fato de que, para cada termo do fatorial , cada fator é menor ou igual a n. Então, .
À medida que n cresce, cada fração (para ) tende a 0, fazendo com que o produto total tende a 0.

Resposta

Portanto, usando o Teorema da Convergência Monótona, mostramos que a sequência é convergente e seu limite é 0.

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