Use o Teorema da Convergência Monótona para mostrar que a sequência
é convergente. A partir daí, determine seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o Teorema da Convergência Monótona para mostrar que a sequência
converge. Depois disso, temos que descobrir qual é esse limite. Então, vamos precisar entender o que é essa sequência, saber um pouco sobre o teorema e aplicar passo a passo pra chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a sequência:
. Aqui,
significa o fatorial de
, que é o produto de todos os números de 1 até
. Já
é
elevado à potência
. Basicamente, estamos comparando o crescimento do fatorial com o crescimento exponencial.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o Teorema da Convergência Monótona. Esse teorema diz que se uma sequência é monotônica (ou seja, sempre crescente ou sempre decrescente) e limitada, então ela converge para algum limite.
Passo 4
Vamos verificar se nossa sequência é monotônica. Observando os termos, vemos que conforme
aumenta, o denominador
cresce muito mais rápido que o numerador
. Isso sugere que a sequência está decrescendo.
Passo 5
Além disso, precisamos ver se a sequência é limitada. Como
é sempre positiva (porque estamos dividindo números positivos), podemos dizer que a sequência é limitada inferiormente por 0.
Passo 6
Como nossa sequência é decrescente e está limitada abaixo por 0, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela deve convergir. Agora, vamos encontrar o limite dessa sequência.
Passo 7
Para encontrar o limite de
quando
tende ao infinito, podemos usar o fato de que, para cada termo do fatorial
, cada fator é menor ou igual a
. Então,
.
À medida que
cresce, cada fração
(para
) tende a 0, fazendo com que o produto total tende a 0.
Resposta
Portanto, usando o Teorema da Convergência Monótona, mostramos que a sequência
é convergente e seu limite é 0.
Exercícios relacionados
Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Dada a sequência na forma
, encontrar
nos seguintes casos:
b)
b)
Dada a sequência na forma
, encontrar
nos seguintes casos:
a)
a)
Para esses subconjuntos determine: