Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. A equação está na forma padrão:
onde
e
.
Passo 3
Agora, calculamos o fator integrante
, que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando, temos:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Isso facilita a integração.
Passo 6
Integrando ambos os lados da equação:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
.
Passo 7
Vamos resolver a integral do lado direito:
Para
, usamos a integração por partes:
Então:
E
.
Passo 8
Juntando tudo, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, isolamos
dividindo toda a equação por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: