Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. A equação está na forma padrão:
onde e .

Passo 3

Agora, calculamos o fator integrante , que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando, temos:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Isso facilita a integração.

Passo 6

Integrando ambos os lados da equação:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente .

Passo 7

Vamos resolver a integral do lado direito:
Para , usamos a integração por partes:
Então:
E .

Passo 8

Juntando tudo, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, isolamos dividindo toda a equação por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Dada a sequência na forma , encontrar nos seguintes casos:
c)
Encontre a solução do problema da condução do calor para , condições de fronteira e , e condição inicial .
Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.