Beleza, vamos resolver esse problema misto juntos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a equação do calor:
ut = uxx
onde representa a temperatura no ponto e no tempo . O problema está definido no intervalo e para todos os tempos . Além disso, temos condições de contorno que dizem que a temperatura é zero nas extremidades e para todo tempo . A condição inicial nos dá a distribuição de temperatura no tempo , que é .
Para resolver isso, vamos usar a separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais parciais como essa.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de u(x, t) = X(x)T(t) e outra que depende apenas de X(x)T'(t) = X''(x)T(t) :
T'(t)T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Substituindo isso na equação do calor:
T'(t) + lambda T(t) = 0
Dividindo ambos os lados por X''(x) + lambda X(x) = 0 :
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
Para :
Para :
Passo 3
Vamos resolver a equação para X''(x) + lambda X(x) = 0 primeiro:
Xn(x) = sin(npi x)
Com as condições de contorno.
Sabemos que as soluções não triviais dessa equação ocorrem quando , onde é um número inteiro positivo. Então, as soluções para são:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação para T'(t) + n^2pi^2 T(t) = 0 :
Tn(t) = e^-n^2pi^2 t
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:
Passo 5
A solução geral da equação do calor é uma soma de todas essas soluções separadas:
u(x, t) = sumn=1^infty Bn e^-n^2pi^2 t sin(npi x)
Onde são coeficientes determinados pela condição inicial. Dado que , vemos que isso corresponde apenas ao termo . Portanto, todos os para são zero, e .