Encontre a solução do problema da condução do calor para , condições de fronteira e , e condição inicial .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse problema de condução de calor. Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação que descreve como o calor se distribui ao longo de uma barra ao longo do tempo. Os dados que temos são:
  • α = √2: Esse é o coeficiente de difusão térmica.
  • Condições de fronteira:
    • u(0, t) = 30: A temperatura na posição 0 sempre é 30°C.
    • u(40, t) = -20: A temperatura na posição 40 sempre é -20°C.
  • Condição inicial:
    • u(x, 0) = 4 - x: A temperatura inicial ao longo da barra varia de acordo com a posição x.
Vamos precisar usar a equação da condução de calor em uma dimensão, que é dada por:

Passo 2

Primeiro, vamos substituir o valor de α na equação. Como α = √2, então α² = 2. Assim, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos buscar uma solução estacionária, ou seja, uma temperatura que não muda mais com o tempo. Para isso, assumimos que , então a equação se simplifica para:
Integrando essa equação duas vezes em relação a x, obtemos:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições de fronteira.

Passo 4

Aplicando as condições de fronteira para encontrar e :
  1. Quando x = 0, u(0) = 30:
  2. Quando x = 40, u(40) = -20:

Passo 5

Substituindo e na solução estacionária:
á

Passo 6

Agora, vamos considerar a solução geral que inclui a parte transitória, ou seja, como a temperatura evolui ao longo do tempo até atingir a solução estacionária. A solução geral é dada por:
á
Onde:
  • é o comprimento da barra.
  • são coeficientes que determinam a contribuição de cada modo de temperatura.

Passo 7

Para encontrar os coeficientes , usamos a condiç��o inicial . Substituindo t = 0 na solução geral:
Isolando a série:
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 8

Para encontrar os coeficientes , usamos a fórmula de Fourier para projeção de funções em séries de seno. O coeficiente é dado por:
Esse cálculo envolve integração por partes e pode ser feito para cada n específico.

Passo 9

Após calcular os coeficientes , substituímos de volta na solução geral para obter a expressão completa de u(x, t). A solução final será:

Resposta

A solução do problema é dada por:
onde os coeficientes são determinados pela condição inicial .

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(13.3) á