Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz. y' + 2 x y = 2 x e^(-x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo primeira ordem linear:

Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação na forma padrão:

Aqui, e . O próximo passo é encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:

Passo 3

Calculamos a integral de P(x):

Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:

Note que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:

Isso simplifica para:
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para y, dividimos ambos os lados por e^(x^2):

Podemos também escrever isso como:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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