Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo primeira ordem linear:

Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação na forma padrão:

Aqui, e . O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 3

Calculamos a integral de :

Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:

Note que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :

Isso simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para , dividimos ambos os lados por :

Podemos também escrever isso como:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Determine se a solução em série de potências em torno do ponto , para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
a) mostre que
Resolva as Equações Diferenciais e PVI propostos, por variáveis separáveis: