Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo primeira ordem linear:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação na forma padrão:
Aqui,
Passo 3
Calculamos a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Note que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
, dividimos ambos os lados por
:
Podemos também escrever isso como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine se a solução em série de potências em torno do ponto
, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
a) mostre que
Resolva as Equações Diferenciais e PVI propostos, por variáveis separáveis: