Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando séries de potências. A gente vai expandir a solução em série em torno de e usar as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar entender como representar e suas derivadas em séries de potências e substituir na equação para encontrar os coeficientes da série.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que vamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Essas expressões serão usadas na equação diferencial.

Passo 4

Substituindo e na equação original:
Vamos distribuir o :

Passo 5

Para facilitar, ajustamos os índices das somas para que todas estejam em termos de :
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 6

Para que a equação seja verdadeira para todos os valores de , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos a seguinte relação de recorrência:
Simplificando:

Passo 7

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar os primeiros coeficientes:
  • Para :
  • Para :
Assim, sabemos que e .

Passo 8

Usando a relação de recorrência, vamos encontrar os próximos coeficientes:
Para :
Para :
Para :
E assim por diante. Observamos que os coeficientes pares são não nulos e os ímpares são zero.

Passo 9

Assim, a série fica:
Podemos perceber que a série se assemelha à expansão da função , que é:
Comparando com nossa série, vemos que são equivalentes.

Passo 10

Portanto, a solução em série da equação diferencial é a série de Taylor da função :
Essa série converge para todos os valores de , ou seja, o conjunto dos valores de para os quais a série converge é (todos os números reais).

Resposta

A solução em série da equação diferencial é , válida para todos os valores de reais.

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Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Mostre que:
Se então , e como também temos que .
Determine se a solução em série de potências em torno do ponto , para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.