Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando séries de potências. A gente vai expandir a solução em série em torno de
e usar as condições iniciais
e
. Para isso, vamos precisar entender como representar
e suas derivadas em séries de potências e substituir na equação para encontrar os coeficientes da série.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que vamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Essas expressões serão usadas na equação diferencial.
Passo 4
Substituindo
e
na equação original:
Vamos distribuir o
:
Passo 5
Para facilitar, ajustamos os índices das somas para que todas estejam em termos de
:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 6
Para que a equação seja verdadeira para todos os valores de
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Assim, temos a seguinte relação de recorrência:
Simplificando:
Passo 7
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar os primeiros coeficientes:
- Para
:
- Para
:
Assim, sabemos que
e
.
Passo 8
Usando a relação de recorrência, vamos encontrar os próximos coeficientes:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante. Observamos que os coeficientes pares são não nulos e os ímpares são zero.
Passo 9
Assim, a série fica:
Podemos perceber que a série se assemelha à expansão da função
, que é:
Comparando com nossa série, vemos que são equivalentes.
Passo 10
Portanto, a solução em série da equação diferencial é a série de Taylor da função
:
Essa série converge para todos os valores de
, ou seja, o conjunto dos valores de
para os quais a série converge é
(todos os números reais).
Resposta
A solução em série da equação diferencial é
, válida para todos os valores de
reais.
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Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Mostre que:
Se então
, e como
também temos que
.
Se
Determine se a solução em série de potências em torno do ponto
, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.