a) mostre que

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o conjunto das partes de intersecado com o conjunto das partes de é igual ao conjunto das partes da intersecção de e . Ou seja, queremos provar que:
Para isso, vamos precisar entender o que é conjunto das partes e como funciona a intersecção de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o conjunto das partes. O conjunto das partes de um conjunto , denotado por , é o conjunto de todos os subconjuntos de . Por exemplo, se , então:

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa a intersecção de dois conjuntos. A intersecção de e , denotada por , é o conjunto formado pelos elementos que estão tanto em quanto em .

Passo 4

Para provar que , precisamos mostrar duas coisas:
  1. Se um conjunto está em , então ele está em .
  2. Se um conjunto está em , então ele está em .

Passo 5

Vamos começar mostrando que . Seja um elemento de . Isso significa que é um subconjunto de e também é um subconjunto de . Portanto, todos os elementos de estão em e em , ou seja, . Assim, pertence a .

Passo 6

Agora, vamos mostrar que . Seja um elemento de . Isso significa que é um subconjunto de . Como está contido em e em , também é um subconjunto de e de . Portanto, pertence tanto a quanto a , ou seja, pertence a .

Resposta

Assim, mostramos que .

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