Determine se a solução em série de potências em torno do ponto
, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se existe uma solução em série de potências para a equação diferencial
quando expandimos em torno do ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e pontos ordinários e singulares em equações diferenciais. Vamos precisar entender como encontrar uma solução em série e determinar o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se
é um ponto ordinário ou singular para a equação diferencial
. Uma maneira de fazer isso é colocar a equação na forma padrão:
Dividindo a equação original por
, temos:
Aqui,
e
.
Um ponto
é ordenado se as funções
e
são analíticas em
. Vamos verificar:
Em
,
, que está bem definido. Portanto,
é um ponto ordinário.
Passo 3
Agora que sabemos que
é um ponto ordinário, podemos procurar uma solução em série de potências na forma:
Onde
. Vamos substituir essa série na equação diferencial e determinar os coeficientes
.
Primeiro, calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituindo
na equação diferencial:
Ficando:
Vamos ajustar os índices para que possamos combinar as somas. Para a primeira soma, fazemos a substituição
:
Agora, a equação fica:
Passo 5
Para facilitar, vamos reescrever
em termos de
:
Substituindo na equação:
Expandindo os termos:
Passo 6
Agora, reorganizamos as somas:
Vamos ajustar os índices novamente para que todas as somas sejam em termos de
:
- Na primeira soma, deixe
:
- Na segunda soma,
:
- Na terceira soma, deixe
:
Substituindo de volta:
Passo 7
Como a igualdade deve valer para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Vamos escrever essa condição para cada
:
Para
:
Simplificando:
Passo 8
Esse é o caso geral para
. Para
e
, temos condições específicas:
Para
:
Para
:
Passo 9
Agora, temos um sistema de equações para os coeficientes
:
-
-
- Para
:
Isso nos permite expressar os coeficientes
em termos de
e
, que geralmente são definidos pelas condições iniciais.
Passo 10
Em resumo, conseguimos estabelecer uma relação de recorrência para os coeficientes da série de potência que é válida para
. Isso significa que existe uma solução em série de potências em torno de
. Quanto ao conjunto de valores para os quais a série converge, como
é um ponto ordinário, a série converge em um intervalo onde não há singularidades próximas. No caso dessa equação, a única singularidade está em
, então o raio de convergência é a distância entre
e
, que é 2. Portanto, a série converge para
.
Resposta
Existe uma solução em série de potências em torno de
para a equação diferencial
. A série converge no intervalo
.
Exercícios relacionados
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
a) mostre que