Determine se a solução em série de potências em torno do ponto , para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se existe uma solução em série de potências para a equação diferencial quando expandimos em torno do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e pontos ordinários e singulares em equações diferenciais. Vamos precisar entender como encontrar uma solução em série e determinar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se é um ponto ordinário ou singular para a equação diferencial . Uma maneira de fazer isso é colocar a equação na forma padrão:
Dividindo a equação original por , temos:
Aqui, e .
Um ponto é ordenado se as funções e são analíticas em . Vamos verificar:
Em , , que está bem definido. Portanto, é um ponto ordinário.

Passo 3

Agora que sabemos que é um ponto ordinário, podemos procurar uma solução em série de potências na forma:
Onde . Vamos substituir essa série na equação diferencial e determinar os coeficientes .
Primeiro, calculamos as derivadas:

Passo 4

Substituindo na equação diferencial:
Ficando:
Vamos ajustar os índices para que possamos combinar as somas. Para a primeira soma, fazemos a substituição :
Agora, a equação fica:

Passo 5

Para facilitar, vamos reescrever em termos de :
Substituindo na equação:
Expandindo os termos:

Passo 6

Agora, reorganizamos as somas:
Vamos ajustar os índices novamente para que todas as somas sejam em termos de :
  1. Na primeira soma, deixe :
  1. Na segunda soma, :
  1. Na terceira soma, deixe :
Substituindo de volta:

Passo 7

Como a igualdade deve valer para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Vamos escrever essa condição para cada :
Para :
Simplificando:

Passo 8

Esse é o caso geral para . Para e , temos condições específicas:
Para :
Para :

Passo 9

Agora, temos um sistema de equações para os coeficientes :
  1. Para :
Isso nos permite expressar os coeficientes em termos de e , que geralmente são definidos pelas condições iniciais.

Passo 10

Em resumo, conseguimos estabelecer uma relação de recorrência para os coeficientes da série de potência que é válida para . Isso significa que existe uma solução em série de potências em torno de . Quanto ao conjunto de valores para os quais a série converge, como é um ponto ordinário, a série converge em um intervalo onde não há singularidades próximas. No caso dessa equação, a única singularidade está em , então o raio de convergência é a distância entre e , que é 2. Portanto, a série converge para .

Resposta

Existe uma solução em série de potências em torno de para a equação diferencial . A série converge no intervalo .

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Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
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a) mostre que