Resolva as Equações Diferenciais e PVI propostos, por variáveis separáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
. O conteúdo que vamos usar é de Equações Diferenciais, mais especificamente o método de Variáveis Separáveis. Para isso, precisamos reorganizar a equação de um jeito que possamos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação de variáveis separáveis. É uma equação onde conseguimos escrever todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro. Isso facilita porque a gente pode integrar cada lado separadamente.
Passo 3
Vamos começar separando as variáveis na equação dada:
Multiplicando ambos os lados por
e
, fica:
Passo 4
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 5
Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, a integral do lado direito:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então
. Portanto,
.
Passo 7
Substituindo na integral:
Substituindo
de volta:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 8
Juntando as integrais dos dois lados:
Podemos simplificar as constantes de integração combinando
e
em uma única constante
.
Passo 9
Isolando
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Podemos renomear
apenas para
, já que é uma constante qualquer.
Passo 10
Finalmente, tirando a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
a) mostre que
Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Determine se a solução em série de potências em torno do ponto
, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade inicial
. Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(14.4)
(14.4)