Resolva as Equações Diferenciais e PVI propostos, por variáveis separáveis: dy/dx = x^2 / (y(1 + x^3))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui: . O conteúdo que vamos usar é de Equações Diferenciais, mais especificamente o método de Variáveis Separáveis. Para isso, precisamos reorganizar a equação de um jeito que possamos separar os termos que envolvem dos que envolvem .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação de variáveis separáveis. É uma equação onde conseguimos escrever todos os termos com de um lado e todos os termos com do outro. Isso facilita porque a gente pode integrar cada lado separadamente.

Passo 3

Vamos começar separando as variáveis na equação dada:
Multiplicando ambos os lados por e , fica:

Passo 4

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, a integral do lado direito:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja , então . Portanto, .

Passo 7

Substituindo na integral:
Substituindo de volta:
Onde é outra constante de integração.

Passo 8

Juntando as integrais dos dois lados:
Podemos simplificar as constantes de integração combinando e em uma única constante .

Passo 9

Isolando :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Podemos renomear apenas para , já que é uma constante qualquer.

Passo 10

Finalmente, tirando a raiz quadrada para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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