Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz. y' + (2 / x) y = (sen x / x), x > 0

Passo 1

Ok, vamos resolver a equação diferencial para . Vamos utilizar o método das equações lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação está na forma padrão de uma equação linear: , onde neste caso e .

Passo 3

Para solucionar, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular essa integral.

Passo 4

Calculando a integral de :
Então, o fator integrante é:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para uma forma que o lado esquerdo é a derivada de .

Passo 6

Reescrevemos o lado esquerdo como uma derivada:
Agora, integramos ambos os lados em relação a .

Passo 7

Integrando:
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes.

Passo 8

Aplicando integração por partes onde e :
Então:

Passo 9

Voltando à equação:
Agora, isolamos :

Passo 10

Finalmente, temos a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto x = a adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
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Verifique se os seguintes campos são conservativos e em caso afirmativo, encontre suas funções potenciais:
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Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto x = a adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
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Responda aos itens abaixo:
(14.2) Calcule o valor de I onde r é dada por r(t) = (t^2 - 1, t^2 + 1), com 0 <= t <= 1