Em cada problema, achar a solução geral da equação diferencial. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução a satisfaz.
Passo 1
Ok, vamos resolver a equação diferencial
para
. Vamos utilizar o método das equações lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação está na forma padrão de uma equação linear:
, onde neste caso
e
.
Passo 3
Para solucionar, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular essa integral.
Passo 4
Calculando a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para uma forma que o lado esquerdo é a derivada de
.
Passo 6
Reescrevemos o lado esquerdo como uma derivada:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
.
Passo 7
Integrando:
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes.
Passo 8
Aplicando integração por partes onde
e
:
Então:
Passo 9
Voltando à equação:
Agora, isolamos
:
Passo 10
Finalmente, temos a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.