Em cada problema resolva e encontre o intervalo na qual a solução existe.

Passo 1

Neste exercício, temos uma equação diferencial de primeira ordem dada por com a condição inicial . Vamos resolver essa equação e encontrar o intervalo onde a solução existe. Para isso, utilizaremos métodos de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem e identificaremos os pontos onde a solução pode não existir.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão . Dividindo ambos os lados da equação original por , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Para resolver a equação, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral de :
Para resolver essa integral, usamos frações parciais. Escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de :
  • Para :
  • Para :
Portanto, a integral fica:
Assim, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicando a equação diferencial pela , temos:
Isso pode ser reescrito como a derivada do produto de e :
Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Resolvendo para :
Agora, aplicamos a condição inicial :
Como estamos lidando com soluções reais, consideramos o valor absoluto:
Portanto, .

Passo 6

Para determinar o intervalo de existência da solução, observamos os pontos onde a equação diferencial original pode não ser definida, ou seja, onde . Isso ocorre em e . A condição inicial está entre esses dois valores. Portanto, a solução existe no intervalo onde a função é contínua e diferenciável, ou seja, entre .

Resposta

A solução é , válida para .

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.