Em cada problema resolva e encontre o intervalo na qual a solução existe.
Passo 1
Neste exercício, temos uma equação diferencial de primeira ordem dada por
com a condição inicial
. Vamos resolver essa equação e encontrar o intervalo onde a solução existe. Para isso, utilizaremos métodos de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem e identificaremos os pontos onde a solução pode não existir.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão
. Dividindo ambos os lados da equação original por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Para resolver a equação, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral de
:
Para resolver essa integral, usamos frações parciais. Escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
:
- Para
:
- Para
:
Portanto, a integral fica:
Assim, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicando a equação diferencial pela
, temos:
Isso pode ser reescrito como a derivada do produto de
e
:
Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Resolvendo para
:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Como estamos lidando com soluções reais, consideramos o valor absoluto:
Portanto,
.
Passo 6
Para determinar o intervalo de existência da solução, observamos os pontos onde a equação diferencial original pode não ser definida, ou seja, onde
. Isso ocorre em
e
. A condição inicial
está entre esses dois valores. Portanto, a solução existe no intervalo onde a função é contínua e diferenciável, ou seja, entre
.
Resposta
A solução é
, válida para
.
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Determine o valor de
para que as funções sejam contínuas.
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
.
Encontrar a solução geral das seguintes equações de segunda ordem e determine se as soluções são fundamenntais.
.
Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
.