Encontrar a solução geral das seguintes equações de segunda ordem e determine se as soluções são fundamenntais.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método da equação de Cauchy-Euler, que é ótimo para equações onde os coeficientes são funções polinomiais de .

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a equação está na forma de uma equação de Cauchy-Euler:
No nosso caso, e . Esse tipo de equação é especial porque podemos assumir que a solução tem a forma:
onde é um número que precisamos descobrir.

Passo 3

Vamos derivar para encontrar e :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Agora, vamos substituir , e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Como todos os termos têm , podemos fatorar isso:
Como nunca é zero para , podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática para encontrar :
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
onde , e .
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, teremos raízes complexas.

Passo 7

As raízes são:
Então, temos:

Passo 8

Quando as raízes são complexas, a solução geral da equação de Cauchy-Euler é:
onde é a parte real e é a parte imaginária das raízes.
No nosso caso, e .

Passo 9

Substituindo os valores de e :
Essa é a solução geral da nossa equação diferencial.

Passo 10

Para determinar se as soluções são fundamentais, precisamos verificar se temos duas soluções linearmente independentes, o que garantirá que formam uma base para o espaço de soluções.
Como as funções e são linearmente independentes, as soluções são fundamentais.

Resposta

A solução geral da equação é
onde e são constantes arbitrárias. Além disso, as soluções encontradas são fundamentais.

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