Encontrar a solução geral das seguintes equações de segunda ordem e determine se as soluções são fundamenntais.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método da equação de Cauchy-Euler, que é ótimo para equações onde os coeficientes são funções polinomiais de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a equação está na forma de uma equação de Cauchy-Euler:
No nosso caso,
e
. Esse tipo de equação é especial porque podemos assumir que a solução tem a forma:
onde
é um número que precisamos descobrir.
Passo 3
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Como todos os termos têm
, podemos fatorar isso:
Como
nunca é zero para
, podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática para encontrar
:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
.
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, teremos raízes complexas.
Passo 7
As raízes são:
Então, temos:
Passo 8
Quando as raízes são complexas, a solução geral da equação de Cauchy-Euler é:
onde
é a parte real e
é a parte imaginária das raízes.
No nosso caso,
e
.
Passo 9
Substituindo os valores de
e
:
Essa é a solução geral da nossa equação diferencial.
Passo 10
Para determinar se as soluções são fundamentais, precisamos verificar se temos duas soluções linearmente independentes, o que garantirá que formam uma base para o espaço de soluções.
Como as funções
e
são linearmente independentes, as soluções são fundamentais.
Resposta
A solução geral da equação é
onde
e
são constantes arbitrárias. Além disso, as soluções encontradas são fundamentais.
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Em cada problema resolva e encontre o intervalo na qual a solução existe.
Determine o valor de
para que as funções sejam contínuas.
Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
.
Encontre a solução de cada PVI