Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, e queremos descobrir em qual o maior conjunto de pontos
essa função é contínua. Para isso, precisamos entender o que significa continuidade de uma função e onde essa função pode apresentar problemas que interrompam essa continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se não houver “saltos” ou “interrupções” no seu gráfico nesse ponto. Para funções de duas variáveis, isso significa que podemos desenhar o gráfico sem levantar o lápis do papel naquele ponto específico.
Passo 3
Observando a função
, notamos que ela está composta por várias operações: exponenciação, subtração, divisão e adição. A continuidade dessas operações depende da continuidade de cada uma delas individualmente.
Passo 4
Vamos analisar a parte problemática da função, que é a fração
. Aqui, temos uma divisão por
. Sabemos que a divisão por zero não é definida, ou seja, se
, a expressão fica indefinida.
Passo 5
A equação
é verdadeira quando
. Portanto, a função
não está definida quando
. Isso significa que, para todos os valores de
, se
for igual a zero, a função não será contínua nesse ponto, porque não está definida.
Passo 6
Assim, para que a função seja contínua, precisamos evitar que
. Em outros termos, a função será contínua em todos os pontos onde
for diferente de zero.
Passo 7
Portanto, o maior conjunto onde a função
é contínua é o conjunto de todos os pares
tais que
.
Resposta
A função
é contínua para todos os valores de
e
, exceto quando
. Ou seja, o maior conjunto de continuidade da função é
.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
3
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(a) .
3
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(a)
Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
.
Determine o valor de
para que as funções sejam contínuas.
Em cada problema resolva e encontre o intervalo na qual a solução existe.