Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e queremos descobrir em qual o maior conjunto de pontos essa função é contínua. Para isso, precisamos entender o que significa continuidade de uma função e onde essa função pode apresentar problemas que interrompam essa continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se não houver “saltos” ou “interrupções” no seu gráfico nesse ponto. Para funções de duas variáveis, isso significa que podemos desenhar o gráfico sem levantar o lápis do papel naquele ponto específico.

Passo 3

Observando a função , notamos que ela está composta por várias operações: exponenciação, subtração, divisão e adição. A continuidade dessas operações depende da continuidade de cada uma delas individualmente.

Passo 4

Vamos analisar a parte problemática da função, que é a fração . Aqui, temos uma divisão por . Sabemos que a divisão por zero não é definida, ou seja, se , a expressão fica indefinida.

Passo 5

A equação é verdadeira quando . Portanto, a função não está definida quando . Isso significa que, para todos os valores de , se for igual a zero, a função não será contínua nesse ponto, porque não está definida.

Passo 6

Assim, para que a função seja contínua, precisamos evitar que . Em outros termos, a função será contínua em todos os pontos onde for diferente de zero.

Passo 7

Portanto, o maior conjunto onde a função é contínua é o conjunto de todos os pares tais que .

Resposta

A função é contínua para todos os valores de e , exceto quando . Ou seja, o maior conjunto de continuidade da função é .

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
3
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(a) .
Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
.
Determine o valor de para que as funções sejam contínuas.
Em cada problema resolva e encontre o intervalo na qual a solução existe.