Determine o valor de L para que as funções sejam contínuas.
g(x, y)=lx^2 y-x^2-y^2x^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) L se(x, y)=(0,0)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o valor de para que a função seja contínua no ponto . Isso envolve estudar o limite da função quando se aproxima de . Precisamos usar conceitos de limites e continuidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a análise do limite:
g(x, y) = x^2 y - x^2 - y^2x^2+y^2 & se (x, y) neq (0,0) L & se (x, y) = (0,0)
Para que seja contínua em , o limite de quando deve ser igual a .

Passo 3

Vamos calcular o limite:
lim(x, y) to (0,0) x^2 y - x^2 - y^2x^2+y^2
Uma boa técnica para calcular limites em duas variáveis é usar coordenadas polares, onde e . Aqui, representa a distância ao ponto e o ângulo.

Passo 4

Substituindo (r cos theta)^2 (r sin theta) - (r cos theta)^2 - (r sin theta)^2(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 e r^3 cos^2 theta sin theta - r^2 cos^2 theta - r^2 sin^2 thetar^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) por suas expressões em coordenadas polares:
r^3 cos^2 theta sin theta - r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)r^2 = r^3 cos^2 theta sin theta - r^2r^2
Simplificando cada termo:
Sabemos que , então a expressão fica:

Passo 5

Dividindo cada termo do numerador por r cos^2 theta sin theta - 1 :
limr to 0 (r cos^2 theta sin theta - 1) = 0 - 1 = -1
Agora, ao calcular o limite quando :

Passo 6

Encontramos que o limite da função quando L = -1 é . Para que a função seja contínua nesse ponto, devemos ter:

Resposta

O valor de que torna a função contínua é .

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