Determine o valor de para que as funções sejam contínuas.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o valor de para que a função seja contínua no ponto . Isso envolve estudar o limite da função quando se aproxima de . Precisamos usar conceitos de limites e continuidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a análise do limite:
Para que seja contínua em , o limite de quando deve ser igual a .

Passo 3

Vamos calcular o limite:
Uma boa técnica para calcular limites em duas variáveis é usar coordenadas polares, onde e . Aqui, representa a distância ao ponto e o ângulo.

Passo 4

Substituindo e por suas expressões em coordenadas polares:
Simplificando cada termo:
Sabemos que , então a expressão fica:

Passo 5

Dividindo cada termo do numerador por :
Agora, ao calcular o limite quando :

Passo 6

Encontramos que o limite da função quando é . Para que a função seja contínua nesse ponto, devemos ter:

Resposta

O valor de que torna a função contínua é .

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Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
.
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.
3
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(a) .
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.