Determine o valor de
para que as funções sejam contínuas.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o valor de
para que a função
seja contínua no ponto
. Isso envolve estudar o limite da função quando
se aproxima de
. Precisamos usar conceitos de limites e continuidade de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a análise do limite:
Para que
seja contínua em
, o limite de
quando
deve ser igual a
.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Uma boa técnica para calcular limites em duas variáveis é usar coordenadas polares, onde
e
. Aqui,
representa a distância ao ponto
e
o ângulo.
Passo 4
Substituindo
e
por suas expressões em coordenadas polares:
Simplificando cada termo:
Sabemos que
, então a expressão fica:
Passo 5
Dividindo cada termo do numerador por
:
Agora, ao calcular o limite quando
:
Passo 6
Encontramos que o limite da função quando
é
. Para que a função seja contínua nesse ponto, devemos ter:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua é
.
Exercícios relacionados
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
3
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(a) .
3
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(a)
Em cada problema resolva e encontre o intervalo na qual a solução existe.
Encontrar a solução geral das seguintes equações de segunda ordem e determine se as soluções são fundamenntais.
.