Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
.

Passo 1

Ok, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos que provar, usando a definição formal de limites, que:
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição formal de limite para funções de várias variáveis e usar algumas desigualdades para mostrar que o limite é realmente zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição formal de limite para funções de duas variáveis:
Para todo número , existe um número tal que, se , então:
Nosso objetivo é encontrar um que satisfaça essa condição para qualquer .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão que precisamos controlar:
Podemos usar propriedades de desigualdades para encontrar uma estimativa superior para essa expressão. Notamos que , então:

Passo 4

Precisamos agora controlar . Para isso, vamos usar o fato de que quando está próximo de , temos que é pequeno, mas precisamos relacionar com .
Assumimos que , então . Isso nos permite substituir:

Passo 5

Agora, queremos que . Isso implica que , mas isso não nos ajuda diretamente. Então, precisamos refinar nossa abordagem.
Vamos voltar à expressão original e tentar encontrar outra estimativa. Note que:
Isso é válido quando , o que sempre acontece. Portanto:

Passo 6

Agora, queremos que . Como , temos que . Então, se escolhermos , garantimos que:

Passo 7

Portanto, para todo , ao escolher , garantimos que:
Isso satisfaz a definição formal de limite.

Resposta

Assim, mostramos que:

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Encontrar a solução geral das seguintes equações de segunda ordem e determine se as soluções são fundamenntais.
.
Em cada problema resolva e encontre o intervalo na qual a solução existe.
Encontre a solução de cada PVI
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
.