Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
lim (x, y) (0,0) y x^2x^2+y^4=0.

Passo 1

Ok, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos que provar, usando a definição formal de limites, que:
lim(x, y) (0,0) y x^2x^2 + y^4 = 0
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição formal de limite para funções de várias variáveis e usar algumas desigualdades para mostrar que o limite é realmente zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição formal de limite para funções de duas variáveis:
Para todo número | y x^2x^2 + y^4 - 0 | < epsilon , existe um número tal que, se , então:
Nosso objetivo é encontrar um que satisfaça essa condição para qualquer .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão que precisamos controlar:
| y x^2x^2 + y^4 |
Podemos usar propriedades de desigualdades para encontrar uma estimativa superior para essa expressão. Notamos que | y x^2x^2 + y^4 | <= | y x^2y^4 | = | x^2y^3 | , então:

Passo 4

Precisamos agora controlar | x^2y^3 | <= |y|^2|y|^3 = 1|y| . Para isso, vamos usar o fato de que quando está próximo de , temos que é pequeno, mas precisamos relacionar com .
Assumimos que , então . Isso nos permite substituir:

Passo 5

Agora, queremos que | y x^2x^2 + y^4 | <= | y x^2x^2 | = |y| . Isso implica que | y x^2x^2 + y^4 | <= |y| , mas isso não nos ajuda diretamente. Então, precisamos refinar nossa abordagem.
Vamos voltar à expressão original e tentar encontrar outra estimativa. Note que:
Isso é válido quando , o que sempre acontece. Portanto:

Passo 6

Agora, queremos que |y| < de. Como , temos que . Então, se escolhermos , garantimos que:

Passo 7

Portanto, para todo | y x^2x^2 + y^4 | <= |y| < epsilon , ao escolher , garantimos que:
Isso satisfaz a definição formal de limite.

Resposta

Assim, mostramos que:
lim(x, y) (0,0) y x^2x^2 + y^4 = 0

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