Prove, utilizando a definição formal de limites, que: .
Passo 1
Ok, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos que provar, usando a definição formal de limites, que:
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição formal de limite para funções de várias variáveis e usar algumas desigualdades para mostrar que o limite é realmente zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição formal de limite para funções de duas variáveis:
Para todo número , existe um número tal que, se , então:
Nosso objetivo é encontrar um que satisfaça essa condição para qualquer .
Passo 3
Vamos simplificar a expressão que precisamos controlar:
Podemos usar propriedades de desigualdades para encontrar uma estimativa superior para essa expressão. Notamos que , então:
Passo 4
Precisamos agora controlar . Para isso, vamos usar o fato de que quando está próximo de , temos que é pequeno, mas precisamos relacionar com .
Assumimos que , então . Isso nos permite substituir:
Passo 5
Agora, queremos que . Isso implica que , mas isso não nos ajuda diretamente. Então, precisamos refinar nossa abordagem.
Vamos voltar à expressão original e tentar encontrar outra estimativa. Note que:
Isso é válido quando , o que sempre acontece. Portanto:
Passo 6
Agora, queremos que . Como , temos que . Então, se escolhermos , garantimos que:
Passo 7
Portanto, para todo , ao escolher , garantimos que: