Em cada um dos Problemas 10 a 15 , verifique que as funçōes dadas y1 e y2 satisfazem a equaçāo homogênea associada; depois encontre uma solu da equação não homogênea dada. Nos Problemas 14 e 15, g é uma função contínua arbitrária
t^2 y^prime prime-t(t+2) y^prime+(t+2) y=2 t^3, t>0
y1(t)=t, y2(t)=t e^t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se as funções t^2 y'' - t(t+2) y' + (t+2) y = 2 t^3, t > 0 e satisfezem a equação homogênea associada a
Depois, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se t^2 y'' - t(t+2) y' + (t+2) y = 0 satisfaz a equação homogênea associada. A equação homogênea é a equação original igualada a zero:
y1'(t) = 1
Calculamos as derivadas de y1''(t) = 0 :
t^2(0) - t(t+2)(1) + (t+2)(t) = 0
0 - t(t+2) + t(t+2) = 0
Substituímos na equação homogênea:
- t(t+2) + t(t+2) = 0
0 = 0
Portanto, é uma solução da equação homogênea.

Passo 3

Agora, vamos verificar se y2'(t) = e^t + t e^t = e^t(1 + t) também satisfaz a equação homogênea. Calculamos as derivadas de y2''(t) = e^t(1 + t) + e^t(1) = e^t(2 + t) :
t^2 e^t(2 + t) - t(t+2) e^t(1 + t) + (t+2) t e^t = 0
t^2(2 + t) e^t - t(t+2)(1 + t) e^t + t(t+2) e^t = 0
Substituímos na equação homogênea:
e^t [ t^2(2 + t) - t(t+2)(1 + t) + t(t+2) ] = 0
Simplificando cada termo:
t^2(2 + t) - t(t+2)(1 + t) + t(t+2) = 0
Fatorando 2t^2 + t^3 - t(t+2)(1 + t) + t(t+2) = 0 e simplificando os termos:
2t^2 + t^3 - t( t(1 + t) + 2(1 + t) ) + t(t+2) = 0
Explicando:
O 2t^2 + t^3 - t(t + t^2 + 2 + 2t) + t(t+2) = 0 nunca é zero, então precisamos que o que está dentro dos colchetes seja zero:
2t^2 + t^3 - t^2 - t^3 - 2t - 2t^2 + t^2 + 2t = 0
Vamos expandir cada termo:
2t^2 + t^3 - t^2 - t^3 - 2t - 2t^2 + t^2 + 2t = 0
0 = 0
Simplificando:
Portanto, também é uma solução da equação homogênea.

Passo 4

Agora que confirmamos que t^2 y'' - t(t+2) y' + (t+2) y = 2 t^3 e W = y1 & y2 y1' & y2' = y1 y2' - y2 y1' são soluções da equação homogênea, podemos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
y1 = t, y1' = 1
Vamos usar o método da variação de parâmetros. Primeiro, precisamos encontrar o Wronskiano das soluções y2 = t e^t, y2' = e^t(1 + t) e W = t cdot e^t(1 + t) - t e^t cdot 1 = t e^t(1 + t - 1) = t^2 e^t .
O Wronskiano é dado por:
Calculando:
Então:

Passo 5

Com o Wronskiano, podemos encontrar a solução particular yp = -y1 integral y2 g(t)W dt + y2 integral y1 g(t)W dt usando as fórmulas:
yp = -t integral t e^t cdot 2 t^3t^2 e^t dt + t e^t integral t cdot 2 t^3t^2 e^t dt
Onde yp = -t integral 2 t^4 e^tt^2 e^t dt + t e^t integral 2 t^4t^2 e^t dt .
Substituindo:
yp = -t integral 2 t^2 dt + t e^t integral 2 t^2 e^-t dt
Simplificando as frações:
integral 2 t^2 dt = 23 t^3 + C
integral 2 t^2 e^-t dt
Calculando as integrais:
Primeira integral:
integral 2 t^2 e^-t dt = 2 e^-t ( -t^2 - 2 t - 2 ) + C
Segunda integral:
Usando integração por partes duas vezes, chegamos a:

Passo 6

Substituindo as integrais encontradas em yp = -t ( 23 t^3 ) + t e^t ( 2 e^-t ( -t^2 - 2 t - 2 ) ) + C :
yp = -23 t^4 + t e^t cdot 2 e^-t ( -t^2 - 2 t - 2 )
yp = -23 t^4 + 2 t ( -t^2 - 2 t - 2 )
yp = -23 t^4 - 2 t^3 - 4 t^2 - 4 t
yp = -23 t^4 - 2 t^3 - 4 t^2 - 4 t
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução particular da equação não homogênea é
yp(t) = -23 t^4 - 2 t^3 - 4 t^2 - 4 t

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