Em cada um dos Problemas 10 a 15 , verifique que as funçōes dadas e satisfazem a equaçāo homogênea associada; depois encontre uma solu da equação não homogênea dada. Nos Problemas 14 e é uma função contínua arbitrária
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se as funções e satisfezem a equação homogênea associada a
Depois, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se satisfaz a equação homogênea associada. A equação homogênea é a equação original igualada a zero:
Calculamos as derivadas de :
Substituímos na equação homogênea:
Portanto, é uma solução da equação homogênea.
Passo 3
Agora, vamos verificar se também satisfaz a equação homogênea. Calculamos as derivadas de :
Substituímos na equação homogênea:
Simplificando cada termo:
Fatorando e simplificando os termos:
Explicando:
O nunca é zero, então precisamos que o que está dentro dos colchetes seja zero:
Vamos expandir cada termo:
Simplificando:
Portanto, também é uma solução da equação homogênea.
Passo 4
Agora que confirmamos que e são soluções da equação homogênea, podemos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos usar o método da variação de parâmetros. Primeiro, precisamos encontrar o Wronskiano das soluções e .
O Wronskiano é dado por:
Calculando:
Então:
Passo 5
Com o Wronskiano, podemos encontrar a solução particular yp = -y1 integral y2 g(t)W dt + y2 integral y1 g(t)W dt usando as fórmulas:
yp = -t integral t e^t cdot 2 t^3t^2 e^t dt + t e^t integral t cdot 2 t^3t^2 e^t dt
Onde yp = -t integral 2 t^4 e^tt^2 e^t dt + t e^t integral 2 t^4t^2 e^t dt .
Substituindo:
yp = -t integral 2 t^2 dt + t e^t integral 2 t^2 e^-t dt
Simplificando as frações:
integral 2 t^2 dt = 23 t^3 + C
integral 2 t^2 e^-t dt
Calculando as integrais:
Primeira integral:
integral 2 t^2 e^-t dt = 2 e^-t ( -t^2 - 2 t - 2 ) + C
Segunda integral:
Usando integração por partes duas vezes, chegamos a:
Passo 6
Substituindo as integrais encontradas em yp = -t ( 23 t^3 ) + t e^t ( 2 e^-t ( -t^2 - 2 t - 2 ) ) + C :
yp = -23 t^4 + t e^t cdot 2 e^-t ( -t^2 - 2 t - 2 )