Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
18. A região dentro do círculos r=1+cos theta e fora do círculo r=3 cos theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a área da região que está dentro do círculo dado por e fora do círculo . Vamos usar integrais duplas para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as equações dos círculos no sistema de coordenadas polares. O círculo é conhecido como círculo cardioide, e o é um círculo com raio 1.5 centrado em no sistema polar.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção desses dois círculos para saber os limites de integração. Igualando as duas equações:
1 + cos theta = 3 cos theta
Resolvendo para 1 = 2 cos theta implies cos theta = 12 implies theta = pi3 ou theta = -pi3 :
Então, os ângulos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular a área. Em coordenadas polares, a área A = 12 integralalpha^beta ( rexterno^2 - rinterno^2 ) dtheta é dada por:
Aqui, é o raio do círculo externo e é o raio do círculo interno. No nosso caso, o círculo externo é e o interno é .

Passo 5

Substituindo na fórmula:
A = 12 integral-pi3^pi3 ( (1 + cos theta)^2 - (3 cos theta)^2 ) dtheta
Vamos expandir os quadrados:
(1 + cos theta)^2 = 1 + 2 cos theta + cos^2 theta
(3 cos theta)^2 = 9 cos^2 theta
Subtraindo:
1 + 2 cos theta + cos^2 theta - 9 cos^2 theta = 1 + 2 cos theta - 8 cos^2 theta

Passo 6

Agora, a integral fica:
A = 12 integral-pi3^pi3 ( 1 + 2 cos theta - 8 cos^2 theta ) dtheta
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Integrando:
integral ( 1 ) dtheta = theta
integral 2 cos theta , dtheta = 2 sin theta
integral -8 cos^2 theta , dtheta = -8 integral cos^2 theta , dtheta
Para integrar cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 , usamos a identidade trigonométrica:
-8 integral cos^2 theta , dtheta = -8 integral 1 + cos 2theta2 dtheta = -4 integral ( 1 + cos 2theta ) dtheta
Então,
= -4 ( theta + sin 2theta2 ) = -4theta - 2 sin 2theta

Passo 8

Juntando tudo, a antiderivada é:
theta + 2 sin theta - 4theta - 2 sin 2theta = -3theta + 2 sin theta - 2 sin 2theta

Passo 9

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de A = 12 [ ( -3( pi3 ) + 2 sin ( pi3 ) - 2 sin ( 2pi3 ) ) - ( -3( -pi3 ) + 2 sin ( -pi3 ) - 2 sin ( -2pi3 ) ) ] e A = 12 [ ( -pi + 2 ( raiz32 ) - 2 ( raiz32 ) ) - ( pi - 2 ( -raiz32 ) + 2 ( -raiz32 ) ) ] :
A = 12 ( -pi - pi ) = 12 (-2pi) = -pi
Simplificando:
A = pi
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:

Resposta

A área da região descrita é igual a unidades de área.

Exercícios relacionados