Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
18. A região dentro do círculos
fora do círculo
18. A região dentro do círculos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a área da região que está dentro do círculo dado por
e fora do círculo
. Vamos usar integrais duplas para calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as equações dos círculos no sistema de coordenadas polares. O círculo
é conhecido como círculo cardioide, e o
é um círculo com raio 1.5 centrado em
no sistema polar.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção desses dois círculos para saber os limites de integração. Igualando as duas equações:
Resolvendo para
:
Então, os ângulos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular a área. Em coordenadas polares, a área
é dada por:
Aqui,
é o raio do círculo externo e
é o raio do círculo interno. No nosso caso, o círculo externo é
e o interno é
.
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Vamos expandir os quadrados:
Subtraindo:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 7
Integrando:
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 8
Juntando tudo, a antiderivada é:
Passo 9
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de
e
:
Simplificando:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região descrita é igual a
unidades de área.
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas 10 a 15 , verifique que as funçōes dadas
e
satisfazem a equaçāo homogênea associada; depois encontre uma solu da equação não homogênea dada. Nos Problemas 14 e
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).