Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
18. A região dentro do círculos fora do círculo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a área da região que está dentro do círculo dado por e fora do círculo . Vamos usar integrais duplas para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as equações dos círculos no sistema de coordenadas polares. O círculo é conhecido como círculo cardioide, e o é um círculo com raio 1.5 centrado em no sistema polar.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção desses dois círculos para saber os limites de integração. Igualando as duas equações:
Resolvendo para :
Então, os ângulos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular a área. Em coordenadas polares, a área é dada por:
Aqui, é o raio do círculo externo e é o raio do círculo interno. No nosso caso, o círculo externo é e o interno é .

Passo 5

Substituindo na fórmula:
Vamos expandir os quadrados:
Subtraindo:

Passo 6

Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Integrando:
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Então,

Passo 8

Juntando tudo, a antiderivada é:

Passo 9

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de e :
Simplificando:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:

Resposta

A área da região descrita é igual a unidades de área.

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