Em cada um dos Problemas 7 a 10, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quando t -> infinito. Se esse comportamento depender do valor inicial de y em t = 0, descreva essa dependência. Note que, nesses problemas, as equações diferenciais não são da forma y' = a y + b, e o comportamento de suas soluções é um pouco mais complicado do que 0 das soluções das equações no texto.
7. y' = y(4 - y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada e, com base nisso, determinar como a função se comporta quando tende ao infinito. O conteúdo envolve equações diferenciais e campo de direções. Vamos precisar identificar os pontos de equilíbrio e analisar como as soluções se comportam ao redor desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação diferencial . Os pontos de equilíbrio ocorrem quando , ou seja:
Resolvendo essa equação, temos:
Então, os pontos de equilíbrio são e .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de em relação a esses pontos de equilíbrio.
  1. Para :
    • Vamos escolher, por exemplo, .
    Como , está diminuindo.
  2. Para :
    • Vamos escolher, por exemplo, .
    Como , está aumentando.
  3. Para :
    • Vamos escolher, por exemplo, .
    Como , está diminuindo.

Passo 4

Com base nessa análise, podemos desenhar o campo de direções:
  • Em : A solução é constante, mas qualquer pequeno desvio para fará aumentar em direção a 4, e para , continuará diminuindo.
  • Em : A solução é constante e estável. Se estiver próximo de 4, tenderá a se aproximar de 4 conforme aumenta.

Resposta

Quando tende ao infinito:
  • Se : continua diminuindo sem limites, ou seja, tende a .
  • Se : permanece em 0 para todo .
  • Se : aumenta e se aproxima de 4.
  • Se : permanece em 4 para todo .
  • Se : diminui e se aproxima de 4.
Ou seja, o comportamento de quando depende do valor inicial :
  • Valores iniciais abaixo de 0 levam a diminuir sem limites.
  • Valores iniciais entre 0 e 4 fazem crescer até 4.
  • Valores iniciais acima de 4 fazem diminuir até 4.

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