Em cada um dos Problemas 7 a 10, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quando . Se esse comportamento depender do valor inicial de y em , descreva essa dependência. Note que, nesses problemas, as equações diferenciais não são da forma , e o comportamento de suas soluções é um pouco mais complicado do que 0 das soluções das equações no texto.
7.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada e, com base nisso, determinar como a função se comporta quando tende ao infinito. O conteúdo envolve equações diferenciais e campo de direções. Vamos precisar identificar os pontos de equilíbrio e analisar como as soluções se comportam ao redor desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação diferencial . Os pontos de equilíbrio ocorrem quando , ou seja:
Resolvendo essa equação, temos:
Então, os pontos de equilíbrio são e .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de em relação a esses pontos de equilíbrio.
  1. Para :
    • Vamos escolher, por exemplo, .
    Como , está diminuindo.
  2. Para :
    • Vamos escolher, por exemplo, .
    Como , está aumentando.
  3. Para :
    • Vamos escolher, por exemplo, .
    Como , está diminuindo.

Passo 4

Com base nessa análise, podemos desenhar o campo de direções:
  • Em : A solução é constante, mas qualquer pequeno desvio para fará aumentar em direção a 4, e para , continuará diminuindo.
  • Em : A solução é constante e estável. Se estiver próximo de 4, tenderá a se aproximar de 4 conforme aumenta.

Resposta

Quando tende ao infinito:
  • Se : continua diminuindo sem limites, ou seja, tende a .
  • Se : permanece em 0 para todo .
  • Se : aumenta e se aproxima de 4.
  • Se : permanece em 4 para todo .
  • Se : diminui e se aproxima de 4.
Ou seja, o comportamento de quando depende do valor inicial :
  • Valores iniciais abaixo de 0 levam a diminuir sem limites.
  • Valores iniciais entre 0 e 4 fazem crescer até 4.
  • Valores iniciais acima de 4 fazem diminuir até 4.

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Usando a mudança de variável e , calcule onde D é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas e .
Em cada um dos Problemas de 22 a 25, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine 0 comportamento de quando . Se esse comportamento depender do valor inicial de y em , descreva essa dependência. Note que a expressão à direita do sinal de igualdade nessas equações depende de , além de ; portanto, suas soluções podem exibir um comportamento mais complicado do que as no texto.
22.
5a. Resolva a equação mais simples
Denote a solução por .