Em cada um dos Problemas 7 a 10, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de y em
, descreva essa dependência. Note que, nesses problemas, as equações diferenciais não são da forma
, e o comportamento de suas soluções é um pouco mais complicado do que 0 das soluções das equações no texto.
7.
7.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada e, com base nisso, determinar como a função
se comporta quando
tende ao infinito. O conteúdo envolve equações diferenciais e campo de direções. Vamos precisar identificar os pontos de equilíbrio e analisar como as soluções se comportam ao redor desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação diferencial
. Os pontos de equilíbrio ocorrem quando
, ou seja:
Resolvendo essa equação, temos:
Então, os pontos de equilíbrio são
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
em relação a esses pontos de equilíbrio.
-
Para
: - Vamos escolher, por exemplo,
.
Como, está diminuindo. - Vamos escolher, por exemplo,
-
Para
: - Vamos escolher, por exemplo,
.
Como, está aumentando. - Vamos escolher, por exemplo,
-
Para
: - Vamos escolher, por exemplo,
.
Como, está diminuindo. - Vamos escolher, por exemplo,
Passo 4
Com base nessa análise, podemos desenhar o campo de direções:
-
Em
: A solução é constante, mas qualquer pequeno desvio para fará aumentar em direção a 4, e para , continuará diminuindo. -
Em
: A solução é constante e estável. Se estiver próximo de 4, tenderá a se aproximar de 4 conforme aumenta.
Resposta
Quando
tende ao infinito:
- Se
: continua diminuindo sem limites, ou seja, tende a . - Se
: permanece em 0 para todo . - Se
: aumenta e se aproxima de 4. - Se
: permanece em 4 para todo . - Se
: diminui e se aproxima de 4.
Ou seja, o comportamento de
quando
depende do valor inicial
:
- Valores iniciais abaixo de 0 levam
a diminuir sem limites. - Valores iniciais entre 0 e 4 fazem
crescer até 4. - Valores iniciais acima de 4 fazem
diminuir até 4.