5a. Resolva a equação mais simples
Denote a solução por
.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial simples:
. O objetivo é resolver essa equação para encontrar a função
, que a gente vai chamar de
. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica bem comum para equações diferenciais de primeira ordem onde as variáveis podem ser separadas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação. Isso significa que queremos ter todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro. A equação original é:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, dividimos ambos os lados por
para isolar
de um lado e multiplicamos por
no outro.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
. A integração nos ajuda a “desfazer” a derivada e encontrar a função original
. Integramos:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para
. Primeiro, eliminamos o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Isso simplifica para:
Podemos absorver a constante
em uma nova constante
, porque
é arbitrária. Então:
Como
é apenas uma constante qualquer, podemos renomeá-la para
sem perda de generalidade:
Resposta
A solução da equação
é:
onde
é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas de 22 a 25, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine 0 comportamento de
quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de y em
, descreva essa dependência. Note que a expressão à direita do sinal de igualdade nessas equações depende de
, além de
; portanto, suas soluções podem exibir um comportamento mais complicado do que as no texto.
22.
22.
Em cada um dos Problemas 7 a 10, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de y em
, descreva essa dependência. Note que, nesses problemas, as equações diferenciais não são da forma
, e o comportamento de suas soluções é um pouco mais complicado do que 0 das soluções das equações no texto.
7.
7.
Um indivíduo partindo de um ponto A quer chegar a um ponto B[Veja a Figura 1] no menor tempo possível. Ele caminha a uma velocidade
no terreno sombreado, e a
na estrada OB. Admita que ele parte de A e caminha em linha reta até chegar em OB. Como deve o indivíduo proceder?
Figura 1: scale
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide
.