d y/d t = a y - b
5a. Resolva a equação mais simples
d/y dt = a y
Denote a solução por y1(t).

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial simples: . O objetivo é resolver essa equação para encontrar a função , que a gente vai chamar de . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica bem comum para equações diferenciais de primeira ordem onde as variáveis podem ser separadas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e em lados diferentes da equação. Isso significa que queremos ter todos os termos com de um lado e todos os termos com do outro. A equação original é:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, dividimos ambos os lados por para isolar de um lado e multiplicamos por no outro.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar . A integração nos ajuda a “desfazer” a derivada e encontrar a função original . Integramos:
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Então, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para . Primeiro, eliminamos o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Isso simplifica para:
Podemos absorver a constante em uma nova constante , porque é arbitrária. Então:
Como é apenas uma constante qualquer, podemos renomeá-la para sem perda de generalidade:

Resposta

A solução da equação é:
onde é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.

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