Usando a mudança de variável u=x-y e v=2 x+y, calcule integral duplaD(2 x^2-x y-y^2) d x d y onde D é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas y=-2 x+4, y= -2 x+7, y=x-2 e y=x+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral usando mudança de variável. A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região no primeiro quadrante, que é delimitada pelas retas , , e . Para isso, vamos usar a mudança de variável e . Vamos precisar entender como fazer essa troca de coordenadas e calcular o determinante da Jacobiana.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a mudança de variável funciona. Temos:
u = x - y
v = 2x + y
Precisamos expressar u = x - y v = 2x + y e u + v = 3x implies x = u + v3 em termos de v - u = 3y implies y = v - u3 e x = u + v3 . Para isso, resolvemos o sistema de equações:
y = v - u3
Somando as duas equações:
Subtraindo a primeira da segunda:
Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante da Jacobiana para a mudança de variável. A Jacobiana J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v é dada por:
partial xpartial u = 13, partial xpartial v = 13
Calculando as derivadas:
partial ypartial u = -13, partial ypartial v = 13
J = 13 & 13 -13 & 13 = (13 cdot 13) - (13 cdot -13) = 19 + 19 = 29
Então,
O valor absoluto da Jacobiana é .

Passo 4

Agora, precisamos expressar a função que vamos integrar e os limites da região 2(u + v3)^2 - (u + v3)(v - u3) - (v - u3)^2 em termos de 2(u^2 + 2uv + v^29) - ((u + v)(v - u)9) - (v^2 - 2uv + u^29) e 2u^2 + 4uv + 2v^29 - v^2 - u^29 - v^2 - 2uv + u^29 .
A função original é = 2u^2 + 4uv + 2v^2 - v^2 + u^2 - v^2 + 2uv - u^29 . Substituindo = 2u^2 + 4uv + 2v^2 - v^2 + u^2 - v^2 + 2uv - u^29 = 4uv9 e :
Vamos simplificar isso:
Simplificando mais:
Então, a função após a mudança de variável fica .

Passo 5

Precisamos agora determinar os novos limites de integração em termos de u = x - y = x - (-2x + 4) = 3x - 4 e v = 2x + y = 2x + (-2x + 4) = 4 . As retas que delimitam u = x - y = x - (-2x + 7) = 3x - 7 são:
  1. v = 2x + y = 2x + (-2x + 7) = 7
  2. u = x - y = x - (x - 2) = 2
  3. v = 2x + y = 2x + (x - 2) = 3x - 2
  4. u = x - y = x - (x + 1) = -1
Vamos expressar cada uma dessas retas em termos de v = 2x + y = 2x + (x + 1) = 3x + 1 e :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Agora, observando que varia entre 4 e 7, e varia entre -1 e 2.

Passo 6

Com tudo isso, podemos montar a integral transformada. Lembrando que:
integral duplaD (2x^2 - xy - y^2) dx dy = integral duplaD' (4uv9) cdot |29| du dv
Simplificando:
integral duplaD' 4uv9 cdot 29 du dv = integral duplaD' 8uv81 du dv
Agora, os limites de são de 4 a 7 e, para cada , varia de -1 a 2.

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integralv=4^7 integralu=-1^2 8uv81 du dv
Primeiro, integramos em relação a integral-1^2 8uv81 du = 8v81 cdot [ u^22 ]-1^2 = 8v81 cdot ( 42 - 12 ) = 8v81 cdot 32 = 12v81 = 4v27 :
integral4^7 4v27 dv = 427 cdot [ v^22 ]4^7 = 427 cdot ( 492 - 162 ) = 427 cdot 332 = 13254 = 229
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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