Usando a mudança de variável e , calcule onde D é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral usando mudança de variável. A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região no primeiro quadrante, que é delimitada pelas retas , , e . Para isso, vamos usar a mudança de variável e . Vamos precisar entender como fazer essa troca de coordenadas e calcular o determinante da Jacobiana.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a mudança de variável funciona. Temos:
Precisamos expressar e em termos de e . Para isso, resolvemos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo a primeira da segunda:
Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante da Jacobiana para a mudança de variável. A Jacobiana é dada por:
Precisamos agora determinar os novos limites de integração em termos de u = x - y = x - (-2x + 4) = 3x - 4 e v = 2x + y = 2x + (-2x + 4) = 4 . As retas que delimitam u = x - y = x - (-2x + 7) = 3x - 7 são:
v = 2x + y = 2x + (-2x + 7) = 7
u = x - y = x - (x - 2) = 2
v = 2x + y = 2x + (x - 2) = 3x - 2
u = x - y = x - (x + 1) = -1
Vamos expressar cada uma dessas retas em termos de v = 2x + y = 2x + (x + 1) = 3x + 1 e :
Para :
Para :
Para :
Para :
Agora, observando que varia entre 4 e 7, e varia entre -1 e 2.
Passo 6
Com tudo isso, podemos montar a integral transformada. Lembrando que:
integral duplaD (2x^2 - xy - y^2) dx dy = integral duplaD' (4uv9) cdot |29| du dv
Simplificando:
integral duplaD' 4uv9 cdot 29 du dv = integral duplaD' 8uv81 du dv
Agora, os limites de são de 4 a 7 e, para cada , varia de -1 a 2.
Passo 7
Vamos calcular a integral:
integralv=4^7 integralu=-1^2 8uv81 du dv
Primeiro, integramos em relação a integral-1^2 8uv81 du = 8v81 cdot [ u^22 ]-1^2 = 8v81 cdot ( 42 - 12 ) = 8v81 cdot 32 = 12v81 = 4v27 :