Usando a mudança de variável e , calcule onde D é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral usando mudança de variável. A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região no primeiro quadrante, que é delimitada pelas retas , , e . Para isso, vamos usar a mudança de variável e . Vamos precisar entender como fazer essa troca de coordenadas e calcular o determinante da Jacobiana.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a mudança de variável funciona. Temos:
Precisamos expressar e em termos de e . Para isso, resolvemos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo a primeira da segunda:
Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante da Jacobiana para a mudança de variável. A Jacobiana é dada por:
Calculando as derivadas:
Então,
O valor absoluto da Jacobiana é .

Passo 4

Agora, precisamos expressar a função que vamos integrar e os limites da região em termos de e .
A função original é . Substituindo e :
Vamos simplificar isso:
Simplificando mais:
Então, a função após a mudança de variável fica .

Passo 5

Precisamos agora determinar os novos limites de integração em termos de e . As retas que delimitam são:
Vamos expressar cada uma dessas retas em termos de e :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Agora, observando que varia entre 4 e 7, e varia entre -1 e 2.

Passo 6

Com tudo isso, podemos montar a integral transformada. Lembrando que:
Simplificando:
Agora, os limites de são de 4 a 7 e, para cada , varia de -1 a 2.

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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7.