Em cada um dos Problemas de 22 a 25, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine 0 comportamento de
quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de y em
, descreva essa dependência. Note que a expressão à direita do sinal de igualdade nessas equações depende de
, além de
; portanto, suas soluções podem exibir um comportamento mais complicado do que as no texto.
22.
22.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
. Nosso objetivo é desenhar o campo de direções dessa equação e descobrir como
se comporta quando
tende ao infinito (
). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e como analisar o comportamento das soluções a longo prazo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. A equação original é:
Podemos reorganizar os termos para ter:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, onde
e
.
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, usamos o método do fator integrante. O fator integrante (
) é dado por:
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. No lado direito, usamos a técnica de integração por partes.
Passo 5
Para resolver
, escolhemos:
-
então -
então
Aplicando integração por partes:
Então:
Passo 6
Voltando à nossa equação:
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Então, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante que depende da condição inicial
.
Passo 8
Agora, analisamos o comportamento de
quando
:
Sabemos que
tende a zero quando
tende ao infinito.
Passo 9
Portanto:
Isso significa que, à medida que
cresce,
também cresce sem limite.
Passo 10
Além disso, podemos ver que o termo
desaparece no limite, o que indica que, independente do valor inicial
, o comportamento dominante de
para
é crescer linearmente com
.
Resposta
Quando
tende ao infinito,
cresce sem limite, aproximando-se de
. Esse comportamento não depende do valor inicial
, já que o termo envolvendo
desaparece conforme
aumenta.