Em cada um dos Problemas de 22 a 25, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine 0 comportamento de y quando t -> infinito. Se esse comportamento depender do valor inicial de y em t = 0, descreva essa dependência. Note que a expressão à direita do sinal de igualdade nessas equações depende de t, além de y; portanto, suas soluções podem exibir um comportamento mais complicado do que as no texto.
22. y' = -2 + t - y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial: . Nosso objetivo é desenhar o campo de direções dessa equação e descobrir como se comporta quando tende ao infinito ( ). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e como analisar o comportamento das soluções a longo prazo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. A equação original é:
Podemos reorganizar os termos para ter:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, onde e .

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, usamos o método do fator integrante. O fator integrante ( ) é dado por:
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . No lado direito, usamos a técnica de integração por partes.

Passo 5

Para resolver , escolhemos:
  • então
  • então
Aplicando integração por partes:
Então:

Passo 6

Voltando à nossa equação:
Agora, resolvemos para :

Passo 7

Então, a solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante que depende da condição inicial .

Passo 8

Agora, analisamos o comportamento de quando :
Sabemos que tende a zero quando tende ao infinito.

Passo 9

Portanto:
Isso significa que, à medida que cresce, também cresce sem limite.

Passo 10

Além disso, podemos ver que o termo desaparece no limite, o que indica que, independente do valor inicial , o comportamento dominante de para é crescer linearmente com .

Resposta

Quando tende ao infinito, cresce sem limite, aproximando-se de . Esse comportamento não depende do valor inicial , já que o termo envolvendo desaparece conforme aumenta.

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