Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado. Precisamos calcular a integral dupla utilizando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como converter a integral de coordenadas cartesianas para polares e definir os limites de integração adequados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, temos as relações:
Além disso, o elemento de área em coordenadas cartesianas é convertido para em polares.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. O domínio de integração é definido por e .
Em termos de , a reta corresponde a . Então, varia de a .
Para cada , o raio vai de até a interseção com . Quando , substituindo , temos , então .

Passo 4

Agora, podemos reescrever a integral em coordenadas polares:

Passo 5

Vamos calcular a integral em primeiro:

Passo 6

Agora, precisamos integrar em relação a :
A antiderivada de é conhecida:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Calculando para :
Para :
Substituindo:

Resposta

A integral dupla vale aproximadamente .

Exercícios relacionados

Usando a mudança de variável e , calcule onde D é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas e .
Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas: .
Em cada um dos Problemas 7 a 10, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quando . Se esse comportamento depender do valor inicial de y em , descreva essa dependência. Note que, nesses problemas, as equações diferenciais não são da forma , e o comportamento de suas soluções é um pouco mais complicado do que 0 das soluções das equações no texto.
7.
Em cada um dos Problemas de 22 a 25, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine 0 comportamento de quando . Se esse comportamento depender do valor inicial de y em , descreva essa dependência. Note que a expressão à direita do sinal de igualdade nessas equações depende de , além de ; portanto, suas soluções podem exibir um comportamento mais complicado do que as no texto.
22.