Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
Passo 1
Vamos começar resumindo o enunciado. Precisamos calcular a integral dupla
utilizando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como converter a integral de coordenadas cartesianas para polares e definir os limites de integração adequados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, temos as relações:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas cartesianas é convertido para
em polares.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. O domínio de integração é definido por
e
.
Em termos de
, a reta
corresponde a
. Então,
varia de
a
.
Para cada
, o raio
vai de
até a interseção com
. Quando
, substituindo
, temos
, então
.
Passo 4
Agora, podemos reescrever a integral em coordenadas polares:
Passo 5
Vamos calcular a integral em
primeiro:
Passo 6
Agora, precisamos integrar em relação a
:
A antiderivada de
é conhecida:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Calculando para
:
Para
:
Substituindo:
Resposta
A integral dupla vale aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Usando a mudança de variável
e
, calcule
onde D é a região do primeiro quadrante delimitada pelas retas
e
.
Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
.
Em cada um dos Problemas 7 a 10, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de y em
, descreva essa dependência. Note que, nesses problemas, as equações diferenciais não são da forma
, e o comportamento de suas soluções é um pouco mais complicado do que 0 das soluções das equações no texto.
7.
7.
Em cada um dos Problemas de 22 a 25, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine 0 comportamento de
quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de y em
, descreva essa dependência. Note que a expressão à direita do sinal de igualdade nessas equações depende de
, além de
; portanto, suas soluções podem exibir um comportamento mais complicado do que as no texto.
22.
22.