Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
Passo 1
Vamos começar resumindo o enunciado. Precisamos calcular a integral dupla
utilizando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como converter a integral de coordenadas cartesianas para polares e definir os limites de integração adequados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, temos as relações:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas cartesianas é convertido para
em polares.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. O domínio de integração é definido por
e
.
Em termos de
, a reta
corresponde a
. Então,
varia de
a
.
Para cada
, o raio
vai de
até a interseção com
. Quando
, substituindo
, temos
, então
.
Passo 4
Agora, podemos reescrever a integral em coordenadas polares:
Passo 5
Vamos calcular a integral em
primeiro:
Passo 6
Agora, precisamos integrar em relação a
:
A antiderivada de
é conhecida:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Calculando para
:
Para
:
Substituindo:
Resposta
A integral dupla vale aproximadamente
.