Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas: integral0^3 integral0^x raizx^2+y^2 d y d x

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado. Precisamos calcular a integral dupla integral0^3 integral0^x raizx^2+y^2 , dy , dx utilizando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como converter a integral de coordenadas cartesianas para polares e definir os limites de integração adequados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, temos as relações:
x = r cos theta y = r sin theta raizx^2+y^2 = r
Além disso, o elemento de área dx , dy em coordenadas cartesianas é convertido para r , dr , dtheta em polares.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. O domínio de integração é definido por 0 <= x <= 3 e 0 <= y <= x.
Em termos de theta, a reta y = x corresponde a theta = pi/4. Então, theta varia de 0 a pi/4.
Para cada theta, o raio r vai de 0 até a interseção com x=3. Quando y = x, substituindo x = 3, temos r cos theta = 3, então r = 3cos theta.

Passo 4

Agora, podemos reescrever a integral em coordenadas polares:
integral0^pi/4 integral0^3cos theta r cdot r , dr , dtheta = integral0^pi/4 integral0^3cos theta r^2 , dr , dtheta

Passo 5

Vamos calcular a integral em r primeiro:
integral0^3cos theta r^2 , dr = [ r^33 ]0^3cos theta = 13 ( 3cos theta )^3 = 273 cos^3 theta = 9cos^3 theta

Passo 6

Agora, precisamos integrar em relação a theta:
integral0^pi/4 9cos^3 theta , dtheta = 9 integral0^pi/4 sec^3 theta , dtheta
A antiderivada de sec^3 theta é conhecida:
integral sec^3 theta , dtheta = sec theta tan theta2 + ln |sec theta + tan theta|2 + C

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
9 [ sec theta tan theta2 + ln (sec theta + tan theta)2 ]0^pi/4
Calculando para theta = pi/4:
sec pi4 = raiz2, tan pi4 = 1
Para theta = 0:
sec 0 = 1, tan 0 = 0
Substituindo:
9 ( raiz2 cdot 12 + ln (raiz2 + 1)2 - ( 1 cdot 02 + ln (1 + 0)2 ) ) = 9 ( raiz22 + ln (raiz2 + 1)2 )

Resposta

A integral dupla vale aproximadamente 9 ( raiz22 + ln (raiz2 + 1)2 ) approx 10.33.

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