Em cada um dos problemas 9 e 10 , determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas,
centro C(0,0), um foco (0) e um vértice A(1, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem o centro em (0,0), um foco em (0,0) e um vértice em (1,0). Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de elipses e fórmulas matemáticas que descrevem essa figura. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma elipse com centro na origem (0,0). Ela pode ser escrita assim:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Aqui, a é a distância do centro até os vértices ao longo do eixo maior (no nosso caso, o eixo x) e b é a distância do centro até os pontos no eixo menor (eixo y).

Passo 3

Sabemos que o vértice está em (1,0). Isso significa que a distância a é 1, já que o vértice está a 1 unidade do centro ao longo do eixo x. Então, temos:
a = 1 e a^2 = 1^2 = 1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de c, que é a distância do centro até cada foco. A relação entre a, b e c em uma elipse é dada por:
a^2 = b^2 + c^2
Nosso problema diz que um foco está em (0,0), ou seja, no centro. Isso significa que a distância c é 0:
c = 0

Passo 5

Com c = 0, vamos usar a relação para encontrar b:
a^2 = b^2 + c^2 1 = b^2 + 0 b^2 = 1
Então,
b = 1

Passo 6

Agora que temos a e b, podemos substituir esses valores na equação geral da elipse:
x^21 + y^21 = 1 x^2 + y^2 = 1

Resposta

A equação da elipse que satisfaz as condições dadas é:
x^2 + y^2 = 1

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