Em cada um dos problemas 9 e 10 , determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas,
centro
, um foco (0) e um vértice
, 0)
centro
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem o centro em (0,0), um foco em (0,0) e um vértice em (1,0). Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de elipses e fórmulas matemáticas que descrevem essa figura. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma elipse com centro na origem (0,0). Ela pode ser escrita assim:
Aqui, a é a distância do centro até os vértices ao longo do eixo maior (no nosso caso, o eixo x) e b é a distância do centro até os pontos no eixo menor (eixo y).
Passo 3
Sabemos que o vértice está em (1,0). Isso significa que a distância a é 1, já que o vértice está a 1 unidade do centro ao longo do eixo x. Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de c, que é a distância do centro até cada foco. A relação entre a, b e c em uma elipse é dada por:
Nosso problema diz que um foco está em (0,0), ou seja, no centro. Isso significa que a distância c é 0:
Passo 5
Com c = 0, vamos usar a relação para encontrar b:
Então,
Passo 6
Agora que temos a e b, podemos substituir esses valores na equação geral da elipse:
Resposta
A equação da elipse que satisfaz as condições dadas é: