Mostre que se |A|=0, então |A B|=0.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que mostrar que se o determinante da matriz é zero, ou seja, , então o determinante do produto das matrizes e , , também será zero. Estamos trabalhando com determinantes e propriedades de matrizes na Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos determinantes: o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes. Em fórmulas, isso é representado por:
|A B| = |A| cdot |B|
Essa propriedade nos ajuda a relacionar os determinantes de , e .

Passo 3

Sabemos pelo enunciado que |A B| = |A| cdot |B| = 0 cdot |B| = 0 . Vamos substituir esse valor na equação que vimos anteriormente:
Ao multiplicar zero pelo determinante de , o resultado é sempre zero.

Resposta

Portanto, mostramos que se , então .

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