Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, para que o sistema linear dado admita solução não-trivial: $*\left{\begin{aligned} x-y-z & =0 \ x-2 y-2 z & =0 \ 2 x+k y+z & =0\end\

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores reais de que fazem com que o sistema linear dado tenha soluções não-triviais. Isso significa que queremos que exista pelo menos uma solução além da solução trivial (onde todas as variáveis são zero). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz de coeficientes. O sistema é:
x - y - z = 0 x - 2y - 2z = 0 2x + ky + z = 0
A matriz de coeficientes A = 1 & -1 & -1 1 & -2 & -2 2 & k & 1 fica assim:

Passo 3

Sabemos que um sistema homogêneo (onde todas as constantes são zero) tem soluções não-triviais se e somente se o determinante da matriz de coeficientes for igual a zero. Ou seja, precisamos resolver:
det(A) = 0

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 cdot (-2) cdot 1 + (-1) cdot (-2) cdot 2 + (-1) cdot 1 cdot k - (-1) cdot (-2) cdot 2 - 1 cdot (-2) cdot k - (-1) cdot 1 cdot 2 . Para uma matriz det(A) = (1 cdot (-2) cdot 1) + ((-1) cdot (-2) cdot 2) + ((-1) cdot 1 cdot k) - ((-1) cdot (-2) cdot 2) - (1 cdot (-2) cdot k) - ((-1) cdot 1 cdot 2) , o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(A) = (-2) + (4) + (-k) - (4) + (2k) - (-2)
Simplificando passo a passo:
det(A) = (-2 + 4 - 4 + 2) + (-k + 2k)
det(A) = 0 + k
det(A) = k
Então,

Passo 5

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar k = 0 :

Resposta

O valor de que faz o sistema ter soluções não-triviais é .

Exercícios relacionados

Use propriedades para calcular o valor do determinante indicado, por inspeção direta. Explique seu raciocínio.
(h) |cccc0 & 5 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0|
Em cada um dos problemas 9 e 10 , determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas,
centro C(0,0), um foco (0) e um vértice A(1, 0)
Verifique se o conjunto V satisfaz cada uma das propriedades a seguir: alpha(u+v)=alpha u+alpha v, forall alpha in R e forall u, v in V
Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços. Em caso afirmativo, determine a base e a dimensão de W. W=(x, y, z) in R^3 mid 5 x-y=0 e 4 z-8 x=0 e V=I R^3