Use propriedades para calcular o valor do determinante indicado, por inspeção direta. Explique seu raciocínio.
(h) |cccc0 & 5 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse determinante passo a passo! O enunciado pede para calcular o valor do determinante de uma matriz 4x4 usando propriedades e inspeção direta. Isso envolve entender como os determinantes funcionam e aplicar algumas regras para simplificar o cálculo sem precisar expandir toda a matriz. Vamos precisar lembrar de propriedades como determinantes de matrizes triangulares e como trocar linhas afeta o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a matriz dada:
0 & 5 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0
Perceba que a matriz tem muitos zeros, o que já nos dá uma pista de que podemos simplificar o cálculo usando algumas propriedades dos determinantes.

Passo 3

Vamos reorganizar a matriz para facilitar a visualização. Note que as duas últimas linhas têm zeros nas primeiras duas colunas. Isso sugere que podemos separar a matriz em blocos menores. Vamos reescrever a matriz assim:
0 & 5 & | & 0 & 0 -2 & 0 & | & 0 & 0 hline 0 & 0 & | & 0 & 3 0 & 0 & | & 1 & 0
Aqui, dividimos a matriz em quatro blocos de 2x2.

Passo 4

Agora, percebemos que essa matriz é uma matriz em bloco, onde os blocos fora da diagonal principal são matrizes nulas. Para esse tipo de matriz, o determinante é o produto dos determinantes dos blocos da diagonal principal.
Então, o determinante da matriz original será igual ao produto do determinante do bloco superior esquerdo e do bloco inferior direito.

Passo 5

Vamos calcular os determinantes desses blocos menores:
Bloco superior esquerdo:
0 & 5 -2 & 0
O determinante desse bloco é:
(0 times 0) - (5 times -2) = 0 + 10 = 10
Bloco inferior direito:
0 & 3 1 & 0
O determinante desse bloco é:
(0 times 0) - (3 times 1) = 0 - 3 = -3

Passo 6

Agora, multiplicamos os determinantes dos blocos:
10 times (-3) = -30

Resposta

O valor do determinante da matriz é -30.

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