Use propriedades para calcular o valor do determinante indicado, por inspeção direta. Explique seu raciocínio.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse determinante passo a passo! O enunciado pede para calcular o valor do determinante de uma matriz 4x4 usando propriedades e inspeção direta. Isso envolve entender como os determinantes funcionam e aplicar algumas regras para simplificar o cálculo sem precisar expandir toda a matriz. Vamos precisar lembrar de propriedades como determinantes de matrizes triangulares e como trocar linhas afeta o determinante.
Perceba que a matriz tem muitos zeros, o que já nos dá uma pista de que podemos simplificar o cálculo usando algumas propriedades dos determinantes.
Passo 3
Vamos reorganizar a matriz para facilitar a visualização. Note que as duas últimas linhas têm zeros nas primeiras duas colunas. Isso sugere que podemos separar a matriz em blocos menores. Vamos reescrever a matriz assim:
Agora, percebemos que essa matriz é uma matriz em bloco, onde os blocos fora da diagonal principal são matrizes nulas. Para esse tipo de matriz, o determinante é o produto dos determinantes dos blocos da diagonal principal.
Então, o determinante da matriz original será igual ao produto do determinante do bloco superior esquerdo e do bloco inferior direito.
Passo 5
Vamos calcular os determinantes desses blocos menores: