Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a solução geral da equação diferencial dada. y'' - 2y + y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem, que faz parte do estudo de equações lineares homogêneas. Para resolver, vamos precisar entender os coeficientes da equação e usar métodos de resolução para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a equação: se torna . Isso facilita na hora de encontrar a solução.

Passo 3

A próxima etapa é escrever a equação característica associada. Para uma equação diferencial do tipo , a equação característica é . No nosso caso, , e , então a equação característica fica:

Passo 4

Resolvemos a equação característica . Isso nos dá duas raízes:
Essas raízes são reais e distintas.

Passo 5

Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das funções exponenciais correspondentes a cada raiz. Ou seja:
Substituindo e , temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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