Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem, que faz parte do estudo de equações lineares homogêneas. Para resolver, vamos precisar entender os coeficientes da equação e usar métodos de resolução para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, simplificamos a equação:
se torna
. Isso facilita na hora de encontrar a solução.
Passo 3
A próxima etapa é escrever a equação característica associada. Para uma equação diferencial do tipo
, a equação característica é
. No nosso caso,
,
e
, então a equação característica fica:
Passo 4
Resolvemos a equação característica
. Isso nos dá duas raízes:
Essas raízes são reais e distintas.
Passo 5
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das funções exponenciais correspondentes a cada raiz. Ou seja:
Substituindo
e
, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.