Informe, com razões, se os seguintes sinais são periódicos ou não. Para os sinais periódicos, determine o período e informe quais harmônicas estão presentes na série. 3 sen(t) + 2 sen(3t)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se o sinal é periódico. Se for periódico, devemos encontrar o período e identificar quais harmônicas estão presentes na sua série. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de sinais periódicos e harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um sinal é periódico se ele se repete em intervalos regulares de tempo, ou seja, existe um período tal que para todo .

Passo 3

O sinal dado é uma soma de funções seno com diferentes frequências angulares: e . Para que a soma de sinais seja periódica, as frequências angulares devem estar em uma relação racional, ou seja, uma deve ser múltiplo inteira da outra.

Passo 4

Observe que a frequência angular de é e a de é . Podemos ver que , o que significa que as frequências estão em uma relação racional.

Passo 5

Como as frequências estão relacionadas de forma racional, a soma é um sinal periódico. Agora, vamos determinar o período .

Passo 6

O período fundamental de um sinal periódico é o menor valor positivo para o qual o sinal se repete. Para múltiplos de frequências, o período é dado por:
Onde e são as frequências do sinal. Neste caso, as frequências são e .

Passo 7

Calculando o menor múltiplo comum (MMC) de e , temos que . Portanto, o período será:

Passo 8

Agora, vamos identificar as harmônicas presentes na série. As harmônicas são múltiplos inteiros da frequência fundamental. Neste caso, a frequência fundamental é .

Passo 9

As componentes do sinal são e . A função corresponde à primeira harmônica (fundamental), e corresponde à terceira harmônica, já que é múltiplo inteiro de .

Resposta

O sinal é periódico com período . As harmônicas presentes na série são a primeira e a terceira harmônica.

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