Informe, com razões, se os seguintes sinais são periódicos ou não. Para os sinais periódicos, determine o período e informe quais harmônicas estão presentes na série.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se o sinal
é periódico. Se for periódico, devemos encontrar o período e identificar quais harmônicas estão presentes na sua série. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de sinais periódicos e harmônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um sinal é periódico se ele se repete em intervalos regulares de tempo, ou seja, existe um período
tal que
para todo
.
Passo 3
O sinal dado é uma soma de funções seno com diferentes frequências angulares:
e
. Para que a soma de sinais seja periódica, as frequências angulares devem estar em uma relação racional, ou seja, uma deve ser múltiplo inteira da outra.
Passo 4
Observe que a frequência angular de
é
e a de
é
. Podemos ver que
, o que significa que as frequências estão em uma relação racional.
Passo 5
Como as frequências estão relacionadas de forma racional, a soma
é um sinal periódico. Agora, vamos determinar o período
.
Passo 6
O período fundamental
de um sinal periódico é o menor valor positivo para o qual o sinal se repete. Para múltiplos de frequências, o período é dado por:
Onde
e
são as frequências do sinal. Neste caso, as frequências são
e
.
Passo 7
Calculando o menor múltiplo comum (MMC) de
e
, temos que
. Portanto, o período
será:
Passo 8
Agora, vamos identificar as harmônicas presentes na série. As harmônicas são múltiplos inteiros da frequência fundamental. Neste caso, a frequência fundamental é
.
Passo 9
As componentes do sinal são
e
. A função
corresponde à primeira harmônica (fundamental), e
corresponde à terceira harmônica, já que
é múltiplo inteiro de
.
Resposta
O sinal
é periódico com período
. As harmônicas presentes na série são a primeira e a terceira harmônica.