Encontre o fluxo do campo vetorial F através da superfície S na direção dada por um campo dos vetores normais n :
integral duplaS F cdot n d S
F=(y,-x,-z), S: x^2+y^2=z^2, 0 <= z <= 1, o lado lateral, n é a exterior.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o fluxo do campo vetorial F = (y, -x, -z) através de uma superfície S, que é a parte lateral do cone dado por x^2 + y^2 = z^2, para 0 <= z <= 1. O fluxo é dado por:
integral duplaS F cdot n , dS
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de superfície e o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Além disso, vamos precisar entender como determinar o vetor normal n para a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de campo que está “passando” pela superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície de F cdot n , dS, onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Como a superfície S é parte de um cone, podemos parametrizá-la usando coordenadas cilíndricas ou esféricas. Vamos usar coordenadas cilíndricas porque são mais convenientes para trabalhar com cones.
Em coordenadas cilíndricas, temos x = rcostheta, y = rsintheta, e z = z. A equação do cone x^2 + y^2 = z^2 se torna r^2 = z^2, ou seja, r = z (já que z >= 0).

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um vetor normal n para a superfície. Para isso, podemos calcular os vetores tangentes à superfície e depois encontrar o normal pelo produto vetorial.
Vamos parametrizar a superfície S em termos de theta e z:
r(theta, z) = (zcostheta, zsintheta, z)

Passo 5

Calculamos os vetores tangentes tomando as derivadas parciais de r em relação a theta e z:
rtheta = partial rpartial theta = (-zsintheta, zcostheta, 0)
rz = partial rpartial z = (costheta, sintheta, 1)

Passo 6

O vetor normal n pode ser encontrado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
n = rtheta times rz
Calculando o produto vetorial:
n = (-zsintheta, zcostheta, 0) times (costheta, sintheta, 1) = (zcostheta, zsintheta, z)

Passo 7

Para obter o vetor normal unitário, dividimos n pelo seu módulo:
|n| = raiz(zcostheta)^2 + (zsintheta)^2 + z^2 = raizz^2cos^2theta + z^2sin^2theta + z^2 = raiz2z^2 = zraiz2
Então,
n = n|n| = ( costhetaraiz2, sinthetaraiz2, 1raiz2 )

Passo 8

Agora, podemos escrever a integral de fluxo:
integral duplaS F cdot n , dS = integral duplaS (y, -x, -z) cdot ( costhetaraiz2, sinthetaraiz2, 1raiz2 ) dS
Substituindo x = zcostheta e y = zsintheta:
F = (zsintheta, -zcostheta, -z)
Então,
F cdot n = (zsintheta)( costhetaraiz2 ) + (-zcostheta)( sinthetaraiz2 ) + (-z)( 1raiz2 ) = -zraiz2

Passo 9

O elemento de área dS pode ser encontrado pelo módulo do vetor normal multiplicado pelos diferenciais de theta e z. Visto que |n| = zraiz2, temos:
dS = |n| , dtheta , dz = zraiz2 , dtheta , dz

Passo 10

Substituindo na integral:
integral duplaS F cdot n , dS = integral0^2pi integral0^1 ( -zraiz2 ) cdot zraiz2 , dz , dtheta = integral0^2pi integral0^1 -z^2 , dz , dtheta

Passo 11

Integrando primeiro em relação a z:
integral0^1 -z^2 , dz = -[ z^33 ]0^1 = -13

Passo 12

Agora, integramos em relação a theta:
integral0^2pi -13 , dtheta = -13 cdot 2pi = -2pi3

Resposta

O fluxo do campo vetorial F através da superfície S é -dfrac2pi3.

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