Encontre o fluxo do campo vetorial através da superfície na direção dada por um campo dos vetores normais :
, o lado lateral, é a exterior.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o fluxo do campo vetorial através de uma superfície , que é a parte lateral do cone dado por , para . O fluxo é dado por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de superfície e o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Além disso, vamos precisar entender como determinar o vetor normal para a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de campo que está “passando” pela superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície de , onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Como a superfície é parte de um cone, podemos parametrizá-la usando coordenadas cilíndricas ou esféricas. Vamos usar coordenadas cilíndricas porque são mais convenientes para trabalhar com cones.
Em coordenadas cilíndricas, temos , , e . A equação do cone se torna , ou seja, (já que ).

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um vetor normal para a superfície. Para isso, podemos calcular os vetores tangentes à superfície e depois encontrar o normal pelo produto vetorial.
Vamos parametrizar a superfície em termos de e :

Passo 5

Calculamos os vetores tangentes tomando as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 6

O vetor normal pode ser encontrado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Calculando o produto vetorial:

Passo 7

Para obter o vetor normal unitário, dividimos pelo seu módulo:
Então,

Passo 8

Agora, podemos escrever a integral de fluxo:
Substituindo e :
Então,

Passo 9

O elemento de área pode ser encontrado pelo módulo do vetor normal multiplicado pelos diferenciais de e . Visto que , temos:

Passo 10

Substituindo na integral:

Passo 11

Integrando primeiro em relação a :

Passo 12

Agora, integramos em relação a :

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

Exercícios relacionados

Encontre o fluxo do campo vetorial através da superfície na direção dada por um campo dos vetores normais :
, a parte no primeiro octante, é para sima.
Encontre o fluxo do campo vetorial através da superfície na direção dada por um campo dos vetores normais :
, a parte superior, é para cima.
Encontre o fluxo do campo vetorial através da superfície na direção dada por um campo dos vetores normais :
é a exterior.
Em cada um dos problemas de 11 a 28, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
20.