Encontre o fluxo do campo vetorial
através da superfície
na direção dada por um campo dos vetores normais
:
, o lado lateral,
é a exterior.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o fluxo do campo vetorial
através de uma superfície
, que é a parte lateral do cone dado por
, para
. O fluxo é dado por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de superfície e o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Além disso, vamos precisar entender como determinar o vetor normal
para a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de campo que está “passando” pela superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície de
, onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Como a superfície
é parte de um cone, podemos parametrizá-la usando coordenadas cilíndricas ou esféricas. Vamos usar coordenadas cilíndricas porque são mais convenientes para trabalhar com cones.
Em coordenadas cilíndricas, temos
,
, e
. A equação do cone
se torna
, ou seja,
(já que
).
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um vetor normal
para a superfície. Para isso, podemos calcular os vetores tangentes à superfície e depois encontrar o normal pelo produto vetorial.
Vamos parametrizar a superfície
em termos de
e
:
Passo 5
Calculamos os vetores tangentes tomando as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 6
O vetor normal
pode ser encontrado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Calculando o produto vetorial:
Passo 7
Para obter o vetor normal unitário, dividimos
pelo seu módulo:
Então,
Passo 8
Agora, podemos escrever a integral de fluxo:
Substituindo
e
:
Então,
Passo 9
O elemento de área
pode ser encontrado pelo módulo do vetor normal multiplicado pelos diferenciais de
e
. Visto que
, temos:
Passo 10
Substituindo na integral:
Passo 11
Integrando primeiro em relação a
:
Passo 12
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é
.
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Em cada um dos problemas de 11 a 28, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
20.
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